题解:SDOI2017 新生舞会

Description

学校组织了一次新生舞会,Cathy 作为经验丰富的老学姐,负责为同学们安排舞伴。

有 \(n\) 个男生和 \(n\) 个女生参加舞会。一个男生和一个女生一起跳舞,互为舞伴。

Cathy 收集了这些同学之间的关系,比如两个人之前认不认识,计算得出 \(a_{i,j}\) ,表示第 \(i\) 个男生和第 \(j\) 个女生一起跳舞获得的愉快程度。

Cathy 还需要考虑两个人一起跳舞是否方便,比如身高体重差别会不会太大,计算得出 \(b_{i,j}\) ,表示第 \(i\) 个男生和第 \(j\) 个女生一起跳舞时的不协调程度。

一个方案中有 \(n\) 对舞伴,假设每对舞伴的愉快程度分别为 \(a'_1,a'_2,\dots,a'_n\) ,不协调程度分别为 \(b'_1,b'_2,\dots,b'_n\) ,

我们令

\[\large
C = \frac{\sum_{i = 1}^{n} a'_i}{\sum_{i = 1}^{n} b'_i}
\]

Cathy 希望方案的 C 值最大。

当然,还需要考虑许多其他问题。

Cathy 想先用一个程序通过 \(a_{i,j}\) 和 \(b_{i,j}\) 求出一种方案,再手动对方案进行微调。

Cathy 找到你,希望你帮她写那个程序。

\(1 \leq n \leq 100, 1 \leq a_{i,j},b_{i,j} \leq 10^4\)

Algorithm

看见题目给了个 \(\large C = \frac{\sum_{i = 1}^{n} a'_i}{\sum_{i = 1}^{n} b'_i}\) 的式子,阅题无数的同学一定就知道怎么做了:分数规划嘛。

题目要求最优化地安排一种方案,使得给定的描述方案性价比的比例式取得最值。

除非你能证明某种贪心策略的正确性,否则从正面考虑这样的问题是极端困难的。

01分数规划的思路则是从反面入手,我们二分答案。

我们二分最终的比值 \(C\) ,如果存在某种方案的比值更优,则存在:

\[\begin{align*}
&\frac{\sum_{i = 1}^{n} a'_i}{\sum_{i = 1}^{n} b'_i} > C \\
\Rightarrow &\sum_{i = 1}^{n} a'_i > C \cdot \sum_{i = 1}^{n} b'_i \\
\Rightarrow &\sum_{i = 1}^{n} (C \cdot b'_i - a'_i) < 0
\end{align*}
\]

反之同理。

于是问题变成了不断验证是否存在 \(\sum_{i = 1}^{n} (C \cdot b'_i - a'_i) > 0\) 继而不断缩小 \(C\) 的可能取值范围。

换言之,如果我们实现了一个 \(check(c)\) 函数能实现对应功能的话,就只需要这样写:

double l = 0, r = 1e6, mid;
while(r - l > eps)
{
mid = (l + r) / 2;
if(check(mid) < 0) l = mid;
else r = mid;
}

我以为分数规划是一个令人心潮澎湃的算法。它既有理性的色彩,又极富暴力的美感,而且简单得惊人。

接下来考虑如何实现这个 \(check(c)\) 。

先把题面上那个 \(a'_i,b'_i\) 的一撇的扒掉。

现在问题本质上是给定一个矩阵 \(c\) ,满足 \(c_{i,j} = (C \cdot b_{i,j} - a_{i,j})\) ,

要求要在矩阵中选出 \(n\) 个数字,满足不存在任意两个选中的数组在同一行或同一列。

怎么做呢?

  1. 我会暴力!\(O(n!)\) 全排列!

    ……那还分数规划干啥

  2. 我会状压 DP !用 \(dp_{i,j}\) 表示现在考虑到第 \(i\) 行,所有列是否已经取数的状态压缩成数字 \(j\) 。

    ……复杂度 \(O(n^2 \cdot 2^n \cdot log 1e6)\) ,大概能过 \(40\%\) ?

  3. 我会费用流!

    可以发现问题本质上是个男女匹配问题,于是考虑建立费用流模型。

    考虑样例

    \[a=\begin{bmatrix}
    19 & 17 & 16 \\
    25 & 24 & 23 \\
    35 & 36 & 31 \\
    \end{bmatrix}
    ,~~
    b = \begin{bmatrix}
    9 & 5 & 6 \\
    3 & 4 & 2 \\
    7 & 8 & 9 \\
    \end{bmatrix}
    \]

    假如我们要验证 \(C = 1\) 的情况,那么有

    \[c = \begin{bmatrix}
    10 & 12 & 10 \\
    22 & 20 & 21 \\
    28 & 28 & 22 \\
    \end{bmatrix}
    \]

    建立这样一个图(本来想标注权值的,但是太糊了还是算了吧):

    令图上所有边的流量上限都是 1 ,这就保证了最大流只能跑过图中的一些匹配。

    令图中 \(M_i \to F_j\) 的边权为 \(c_{i,j}\) ,与 \(s,t\) 连接的所有边权都为 0,那么我们需要验证的值就是跑最大流所经边权之和的最小值,也就是最小费用最大流。

    有关最小费用最大流的实现,我是使用 \(Dijkstra\) 配合势能函数魔改dinic的版本。

    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std; const double eps = 1e-7;
    template<const int N, const int M>
    class Graph {
    private:
    typedef pair<double, int> Node;
    priority_queue<Node> que;
    const double INF = 1e7;
    int beg[N], nex[M], tar[M], cap[M], ite[N], len;
    double pot[N], dis[N], cst[M];
    bool vis[N]; public:
    int n, s, t;
    inline void clear() {
    memset(pot, 0, sizeof(pot));
    memset(beg, 0, sizeof(beg));
    memset(nex, 0, sizeof(nex));
    len = 1;
    }
    Graph() {
    clear();
    }
    inline void add_edge(int a, int b, int c, double d)
    {
    ++len, tar[len] = b, cap[len] = c, cst[len] = d;
    nex[len] = beg[a], beg[a] = len;
    } inline void add_pipe(int a, int b, int c, double d)
    {
    add_edge(a, b, c, +d);
    add_edge(b, a, 0, -d);
    } inline bool dijkstra(int s, int t)
    {
    fill(dis, dis + n + 1, INF);
    que.push(Node(dis[s] = 0, s)); while(!que.empty())
    {
    Node cur = que.top(); que.pop();
    int u = cur.second;
    if(-cur.first > dis[u]) continue;
    for(int i = beg[u]; i; i = nex[i])
    {
    int v = tar[i];
    double tmp = dis[u] + cst[i] + pot[u] - pot[v];
    if(cap[i] && dis[v]- tmp > eps)
    que.push(Node(-(dis[v] = tmp), v));
    }
    }
    return dis[t] < INF;
    } int dfs(int u, int flo)
    {
    if(u == t) return flo; int rst = flo;
    vis[u] = true;
    for(int &i = ite[u]; i; i = nex[i])
    {
    int v = tar[i];
    if(vis[v] || !cap[i]) continue;
    double tmp = dis[u] + cst[i] + pot[u] - pot[v];
    if(fabs(tmp - dis[v]) < eps)
    {
    int res = dfs(v, min(rst, cap[i]));
    rst -= res;
    cap[i] -= res;
    cap[i ^ 1] += res;
    }
    }
    vis[u] = false;
    return flo - rst;
    } inline Node costflow()
    {
    Node ret = Node(0, 0);
    while(dijkstra(s, t))
    {
    memcpy(ite, beg, sizeof(ite));
    int res = dfs(s, INF);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    if(dis[i] < INF) pot[i] += dis[i];
    ret.first += res * pot[t];
    ret.second += res;
    }
    return ret;
    } }; template<class T>
    inline void read(T &x)
    {
    char c = getchar(); x = 0;
    while(c < '0' || '9' < c) c = getchar();
    while('0' <= c && c <= '9')
    {
    x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
    c = getchar();
    }
    } int n, a[128][128], b[128][128];
    Graph<256, 32768> G; double check(double c)
    {
    G.clear();
    G.s = n + n + 2, G.n = G.t = G.s + 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    for(int j = 1; j <= n; ++j)
    G.add_pipe(i, j + n, 1, - a[i][j] + c * b[i][j]);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
    G.add_pipe(G.s, i, 1, 0);
    G.add_pipe(i + n, G.t, 1, 0);
    }
    return G.costflow().first;
    } int main()
    {
    read(n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    for(int j = 1; j <= n; ++j)
    read(a[i][j]);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    for(int j = 1; j <= n; ++j)
    read(b[i][j]); double l = 0, r = 1e6, mid;
    while(r - l > eps)
    {
    mid = (l + r) / 2;
    if(check(mid) < 0) l = mid;
    else r = mid;
    } cout << fixed << setprecision(6) << mid << endl; return 0;
    }

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