题解:SDOI2017 新生舞会
题解:SDOI2017 新生舞会
Description
学校组织了一次新生舞会,Cathy 作为经验丰富的老学姐,负责为同学们安排舞伴。
有 \(n\) 个男生和 \(n\) 个女生参加舞会。一个男生和一个女生一起跳舞,互为舞伴。
Cathy 收集了这些同学之间的关系,比如两个人之前认不认识,计算得出 \(a_{i,j}\) ,表示第 \(i\) 个男生和第 \(j\) 个女生一起跳舞获得的愉快程度。
Cathy 还需要考虑两个人一起跳舞是否方便,比如身高体重差别会不会太大,计算得出 \(b_{i,j}\) ,表示第 \(i\) 个男生和第 \(j\) 个女生一起跳舞时的不协调程度。
一个方案中有 \(n\) 对舞伴,假设每对舞伴的愉快程度分别为 \(a'_1,a'_2,\dots,a'_n\) ,不协调程度分别为 \(b'_1,b'_2,\dots,b'_n\) ,
我们令
C = \frac{\sum_{i = 1}^{n} a'_i}{\sum_{i = 1}^{n} b'_i}
\]
Cathy 希望方案的 C 值最大。
当然,还需要考虑许多其他问题。
Cathy 想先用一个程序通过 \(a_{i,j}\) 和 \(b_{i,j}\) 求出一种方案,再手动对方案进行微调。
Cathy 找到你,希望你帮她写那个程序。
\(1 \leq n \leq 100, 1 \leq a_{i,j},b_{i,j} \leq 10^4\)
Algorithm
看见题目给了个 \(\large C = \frac{\sum_{i = 1}^{n} a'_i}{\sum_{i = 1}^{n} b'_i}\) 的式子,阅题无数的同学一定就知道怎么做了:分数规划嘛。
题目要求最优化地安排一种方案,使得给定的描述方案性价比的比例式取得最值。
除非你能证明某种贪心策略的正确性,否则从正面考虑这样的问题是极端困难的。
01分数规划的思路则是从反面入手,我们二分答案。
我们二分最终的比值 \(C\) ,如果存在某种方案的比值更优,则存在:
&\frac{\sum_{i = 1}^{n} a'_i}{\sum_{i = 1}^{n} b'_i} > C \\
\Rightarrow &\sum_{i = 1}^{n} a'_i > C \cdot \sum_{i = 1}^{n} b'_i \\
\Rightarrow &\sum_{i = 1}^{n} (C \cdot b'_i - a'_i) < 0
\end{align*}
\]
反之同理。
于是问题变成了不断验证是否存在 \(\sum_{i = 1}^{n} (C \cdot b'_i - a'_i) > 0\) 继而不断缩小 \(C\) 的可能取值范围。
换言之,如果我们实现了一个 \(check(c)\) 函数能实现对应功能的话,就只需要这样写:
double l = 0, r = 1e6, mid;
while(r - l > eps)
{
mid = (l + r) / 2;
if(check(mid) < 0) l = mid;
else r = mid;
}
我以为分数规划是一个令人心潮澎湃的算法。它既有理性的色彩,又极富暴力的美感,而且简单得惊人。
接下来考虑如何实现这个 \(check(c)\) 。
先把题面上那个 \(a'_i,b'_i\) 的一撇的扒掉。
现在问题本质上是给定一个矩阵 \(c\) ,满足 \(c_{i,j} = (C \cdot b_{i,j} - a_{i,j})\) ,
要求要在矩阵中选出 \(n\) 个数字,满足不存在任意两个选中的数组在同一行或同一列。
怎么做呢?
我会暴力!\(O(n!)\) 全排列!
……那还分数规划干啥
我会状压 DP !用 \(dp_{i,j}\) 表示现在考虑到第 \(i\) 行,所有列是否已经取数的状态压缩成数字 \(j\) 。
……复杂度 \(O(n^2 \cdot 2^n \cdot log 1e6)\) ,大概能过 \(40\%\) ?
我会费用流!
可以发现问题本质上是个男女匹配问题,于是考虑建立费用流模型。
考虑样例
\[a=\begin{bmatrix}
19 & 17 & 16 \\
25 & 24 & 23 \\
35 & 36 & 31 \\
\end{bmatrix}
,~~
b = \begin{bmatrix}
9 & 5 & 6 \\
3 & 4 & 2 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
\]假如我们要验证 \(C = 1\) 的情况,那么有
\[c = \begin{bmatrix}
10 & 12 & 10 \\
22 & 20 & 21 \\
28 & 28 & 22 \\
\end{bmatrix}
\]建立这样一个图(本来想标注权值的,但是太糊了还是算了吧):
令图上所有边的流量上限都是 1 ,这就保证了最大流只能跑过图中的一些匹配。
令图中 \(M_i \to F_j\) 的边权为 \(c_{i,j}\) ,与 \(s,t\) 连接的所有边权都为 0,那么我们需要验证的值就是跑最大流所经边权之和的最小值,也就是最小费用最大流。
有关最小费用最大流的实现,我是使用 \(Dijkstra\) 配合势能函数魔改dinic的版本。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; const double eps = 1e-7;
template<const int N, const int M>
class Graph {
private:
typedef pair<double, int> Node;
priority_queue<Node> que;
const double INF = 1e7;
int beg[N], nex[M], tar[M], cap[M], ite[N], len;
double pot[N], dis[N], cst[M];
bool vis[N]; public:
int n, s, t;
inline void clear() {
memset(pot, 0, sizeof(pot));
memset(beg, 0, sizeof(beg));
memset(nex, 0, sizeof(nex));
len = 1;
}
Graph() {
clear();
}
inline void add_edge(int a, int b, int c, double d)
{
++len, tar[len] = b, cap[len] = c, cst[len] = d;
nex[len] = beg[a], beg[a] = len;
} inline void add_pipe(int a, int b, int c, double d)
{
add_edge(a, b, c, +d);
add_edge(b, a, 0, -d);
} inline bool dijkstra(int s, int t)
{
fill(dis, dis + n + 1, INF);
que.push(Node(dis[s] = 0, s)); while(!que.empty())
{
Node cur = que.top(); que.pop();
int u = cur.second;
if(-cur.first > dis[u]) continue;
for(int i = beg[u]; i; i = nex[i])
{
int v = tar[i];
double tmp = dis[u] + cst[i] + pot[u] - pot[v];
if(cap[i] && dis[v]- tmp > eps)
que.push(Node(-(dis[v] = tmp), v));
}
}
return dis[t] < INF;
} int dfs(int u, int flo)
{
if(u == t) return flo; int rst = flo;
vis[u] = true;
for(int &i = ite[u]; i; i = nex[i])
{
int v = tar[i];
if(vis[v] || !cap[i]) continue;
double tmp = dis[u] + cst[i] + pot[u] - pot[v];
if(fabs(tmp - dis[v]) < eps)
{
int res = dfs(v, min(rst, cap[i]));
rst -= res;
cap[i] -= res;
cap[i ^ 1] += res;
}
}
vis[u] = false;
return flo - rst;
} inline Node costflow()
{
Node ret = Node(0, 0);
while(dijkstra(s, t))
{
memcpy(ite, beg, sizeof(ite));
int res = dfs(s, INF);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
if(dis[i] < INF) pot[i] += dis[i];
ret.first += res * pot[t];
ret.second += res;
}
return ret;
} }; template<class T>
inline void read(T &x)
{
char c = getchar(); x = 0;
while(c < '0' || '9' < c) c = getchar();
while('0' <= c && c <= '9')
{
x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
c = getchar();
}
} int n, a[128][128], b[128][128];
Graph<256, 32768> G; double check(double c)
{
G.clear();
G.s = n + n + 2, G.n = G.t = G.s + 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
G.add_pipe(i, j + n, 1, - a[i][j] + c * b[i][j]);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
G.add_pipe(G.s, i, 1, 0);
G.add_pipe(i + n, G.t, 1, 0);
}
return G.costflow().first;
} int main()
{
read(n);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
read(a[i][j]);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
read(b[i][j]); double l = 0, r = 1e6, mid;
while(r - l > eps)
{
mid = (l + r) / 2;
if(check(mid) < 0) l = mid;
else r = mid;
} cout << fixed << setprecision(6) << mid << endl; return 0;
}
题解:SDOI2017 新生舞会的更多相关文章
- 【BZOJ4819】[Sdoi2017]新生舞会 01分数规划+费用流
[BZOJ4819][Sdoi2017]新生舞会 Description 学校组织了一次新生舞会,Cathy作为经验丰富的老学姐,负责为同学们安排舞伴.有n个男生和n个女生参加舞会 买一个男生和一个女 ...
- [Sdoi2017]新生舞会 [01分数规划 二分图最大权匹配]
[Sdoi2017]新生舞会 题意:沙茶01分数规划 貌似\(*10^7\)变成整数更科学 #include <iostream> #include <cstdio> #inc ...
- BZOJ_4819_[Sdoi2017]新生舞会_01分数规划+费用流
BZOJ_4819_[Sdoi2017]新生舞会_01分数规划+费用流 Description 学校组织了一次新生舞会,Cathy作为经验丰富的老学姐,负责为同学们安排舞伴.有n个男生和n个女生参加舞 ...
- 洛谷 P3705 [SDOI2017]新生舞会 解题报告
P3705 [SDOI2017]新生舞会 题目描述 学校组织了一次新生舞会,\(Cathy\)作为经验丰富的老学姐,负责为同学们安排舞伴. 有\(n\)个男生和\(n\)个女生参加舞会买一个男生和一个 ...
- 【BZOJ 4819】 4819: [Sdoi2017]新生舞会 (0-1分数规划、二分+KM)
4819: [Sdoi2017]新生舞会 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 601 Solved: 313 Description 学校 ...
- [BZOJ4819][SDOI2017]新生舞会(分数规划+费用流,KM)
4819: [Sdoi2017]新生舞会 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 1097 Solved: 566[Submit][Statu ...
- 【算法】01分数规划 --- HNOI2009最小圈 & APIO2017商旅 & SDOI2017新生舞会
01分数规划:通常的问法是:在一张有 \(n\) 个点,\(m\) 条边的有向图中,每一条边均有其价值 \(v\) 与其代价 \(w\):求在图中的一个环使得这个环上所有的路径的权值和与代价和的比率最 ...
- 4819: [Sdoi2017]新生舞会(分数规划)
4819: [Sdoi2017]新生舞会 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 1031 Solved: 530[Submit][Statu ...
- P3705 [SDOI2017]新生舞会 01分数规划+费用流
$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$ 学校组织了一次新生舞会,Cathy作为经验丰富的老学姐,负责为同学们安排舞伴. 有\(n\)个男生和\(n\)个女生参加舞会买一个男生和一个女生一 ...
随机推荐
- Fabric1.4 架构和原理
#1.Fabric总体架构Fabric架构主要包括三个模块:会员(Membership),区块链(Blockchan)和链码(chaincode). 1.1成员服务 包含下列组件:注册.身份认证管理及 ...
- Tomcat三实例cluster多播方案共享session再配置
昨天已经将两实例cluster多播方案共享Session配置成功,其中的关键就在于server.xml中,engine->channel->receiver节点中address得写成自己的 ...
- java集合类源码学习三——ArrayList
ArrayList无疑是java集合类中的一个巨头,而且或许是使用最多的集合类.ArrayList继承自AbstractList抽象类,实现了List<E>, RandomAccess, ...
- CTF-BugKu-加密
2020.09.12 恕我直言,上午做WeChall那个做自闭了,下午复习一下之前做过的. 做题 第一题 滴答~滴 https://ctf.bugku.com/challenges#滴答~滴 摩斯密码 ...
- [剑指Offer]65-不用加减乘除做加法
题目 写一个函数,求两个整数之和,要求在函数体内不得使用+.-.*./四则运算符号. 题解 用位运算模拟加法的三步: 无进位加法:异或运算. 进位:与运算再左移一位. 直到进位为0结束. 代码 pub ...
- adb命令—monkey篇
monkey 目录 monkey 1.Monkey介绍 2.Monkey是用来做什么的 3.Monkey程序介绍 下面就是一些Monkey命令了 1.Monkey介绍 顾名思义,Monkey就是猴子, ...
- 分布式系统监视zabbix讲解七之分布式监控
分布式监控 概述 Zabbix通过Zabbix proxy为IT基础设施提供有效和可用的分布式监控 代理(proxy)可用于代替Zabbix server本地收集数据,然后将数据报告给服务器. Pro ...
- (专题四)05 matlab视角处理
方位角 视角 子图一 子图二,视点设置在图形的正上方 子图三,视点设置在图形侧面时的效果 子图四,十点设置在图形斜下方的效果 \circ用于输出符号° view函数的其他用法 视点在笛卡尔坐标中的位置 ...
- 《Java从入门到失业》第四章:类和对象(4.3):一个完整的例子带你深入类和对象
4.3一个完整的例子带你深入类和对象 到此为止,我们基本掌握了类和对象的基础知识,并且还学会了String类的基本使用,下面我想用一个实际的小例子,逐步来讨论类和对象的一些其他知识点. 4.3.1需求 ...
- 基于MAXIMO的发电行业EAM解决方案
1. 行业背景 随着我国以“厂网分开,竞价上网”为特点的电力市场的起步和发展,发电厂.发电集团成为独立企业参与市场竞争,原有的“生产型”管理模式已经不再适应市场的需求.发电企业在重视安全质量.保证电力 ...