acm 快速傅里叶变换的理解

A(x)=A4[0](x*x)+x*A4[1](x*x);
x=1,w,w*w,w*w*w
wi means w^i
n=4;w=w[4]
result shuould be
y[0]=A4[0](1*1)+1*A4[1](1*1);
y[1]=A4[0](w*w)+w*A4[1](w*w);
y[2]=A4[0](w2*w2)+w2*A4[1](w2*w2);
y[3]=A4[0](w3*w3)+w3*A4[1](w3*w3);
1*1=w2*w2=(-1*-1) w2=w0*-1=-1;
w*w=w[2];w3*w3=w(6%4)=w*w=w[2]
w2=-1
w3=-w w3=w(1+4/2);
pro perform
=============
w[n] means e^(2πi/n)
w[4]*w[4]=w[2]
n=2, w=w[2]
A4[0](1),A4[0](w[2])
A[0]=A2[0]+A2[1]
A[1]=A2[0]-A2[1]
----
A4[1](1),A4[1](w[2])
A[2]=A2[2]+A2[3]//0,1
A[3]=A2[2]-A2[3]
==============
n=4;w=w[4]
//两边各取一半就能取到x^2，右边乘上本轮应该有的wk,这样就合理了
y[0]=A4[0](1)+1*A4[1](1)
y[2]=A4[0](1)-1*A4[1](1)
y[1]=A4[0](w[2])+w*A4[1](w[2])
y[3]=A4[0](w[2])-wA4[1](w[2])
===============
0,1,2,3
0,2,1,3
y[0]=a[0]+w[2]0*a[2];
y[1]=a[0]+w[2]1*a[2];
y[2]=a[1]+w[2]0*a[3];
y[3]=a[1]+w[2]1*a[3];
===============
y[0]=a[0]+w[2]0*a[2]+w[4]0*a[1]+w[4]0*w[2]0*a[3];
y[2]=a[0]+w[2]0*a[2]+w[4]2*a[1]+w[4]2*w[2]0*a[3];
w[4]2=-w[4]0
y[1]=a[0]+w[2]1*a[2]+w[4]1*a[1]+w[4]1*w[2]1*a[3];
y[3]=a[0]+w[2]1*a[2]+w[4]3*a[1]+w[4]3*w[2]1*a[3];
w[4]3=-w[4]1
===============
y[2]=a[0]+(w[4]2*w[4]2=w[4]4=1=w[2]0)a[2]+(w[4]2=-w[4]0=-1)....
y[3]=a[0]+(w[2]1=w[4]6=w[4]2=w[2]1)a[2]+(w[4]3=-w[4]1,)....(w[4]3*w[2]1=w[4]5=w[4](5+4)=w[4]9)*a[3];
===============
所以分析一下n=8的情况
首先分成n1=4,n2=4
此时分别递归出两层，
在回溯的时候，y0,y1,y2,y3的意义就是n=4时取的四个特征值的y
n1=4有可以分成n3=2,n4=2两层
每一段的,y0,y1的意义就是n=2时取的两个特征值的y
那么n=2时有四段这样的
其中每两段，左边一段就代表了A4[0],右边一段就代表了A4[1],这样就能合成A8[0],右边的A8[1]同理
那么其实，根据公式yk+4/2也就递推出来了(n=4时)，所以连续处理的一段的左一半因为在之前的处理中
就是按照wn升幂的，所以现在直接拿出来，那么他的值就是A8[0](w^0*2),A8[0](w^1*2),A8[0](w^2*2),A8[0](w^3*2)
右边和左边当然是对称的，然后连续一整段的
什么事连续一整段呢，我解释下
像（0，1）（2，3）（4，5）（6，7）
这四段是不连续的，他们的意义都一样，w^0,w^1的取值
而(0,1,2,3,4,5,6,7),
取出的四段则是连续的，(0,4)(1,5)(2,6)(3,7)
所以每一段的旋转系数W,都要按照Wn，每次幂次加一，这样才能对的上yk=A0[(x^k)^2]+x^k*A1[(x^k)^2]
中右边的系数，n=8,最后一次回溯计算则有连续4对,k=0,1,2,3

还有一个需要注意的地方是
W8=e^(2pi*i)/8
则
W2=e^(2pi*i)/2 =W8*W8*W8*W8
除的数越小，则Wn的次数越高，而不是越低