概率dp+期望dp 题目列表（一）

表示对概率和期望还不是很清楚定义。

目前暂时只知道概率正推，期望逆推，然后概率*某个数值=期望。

为什么期望是逆推的，例如你求到某一个点的概率我们可以求得，然后我们只要运用dp从1~n每次都加下去就好了，这样求出来的就是最后的概率。那么期望呢，就是这个概率*数值就行了。但是有时候这么绕来绕去太麻烦了，我们干脆就逆过来。然后我们发现，根据期望的定义，逆过来以后反正做结果并没有太大的改变，dp从n~1就可以了，并且每次都加上数值，然后在for的途中，这个数值是会不断的乘以概率的，所以期望适合用逆推的方法。

题目列表：

①LightOJ 1030 基础题（一）

②Light OJ 1038 基础题 （二）

③Light OJ 1079 背包+概率（三）

④Light OJ 1104 生日悖论（四）

⑤Light OJ 1248 筛子问题（五）

⑥Light OJ 1265 基础题（四）

⑦

⑧

⑨

⑩

一：light OJ 1030 基础题

题目大意：有n个点，每个点有一个val，从1开始出发，到底n个点，每次掷骰子，求到第n个点的期望val是多少？

思路：可以知道对于每个位置，下一个位置只能是后n-i个，所以从这个pos得到的val的期望f(i) = (f(i + 1) + f(i + 2) + … + f(i + 6)) / 6，如果这个位置后不足6，f(i) = (f(i + 1) + … + f(n)) / (n - i)。

期望的代码

//看看会不会爆int! 或者绝对值问题。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
const int maxn =  + ;
int n;
double dp[maxn];
int a[maxn];

int main(){
    int T; cin >> T;
    for (int t = ; t <= T; t++){
        scanf("%d", &n);
        memset(dp, , sizeof(dp));
        for (int i = ; i <= n; i++){
            scanf("%lf", dp + i);
        }
        for (int i = n; i >= ; i--){
            int k = min(, n - i);
            for (int j = ; j <= k; j++){
                dp[i] += (dp[i + j]) * 1.0 / k;
            }
        }
        printf("Case %d: %f\n", t, dp[]);
    }
    return ;
}

当然这道题也可以用概率的代码来写，看这个人的博客吧http://www.cnblogs.com/WABoss/p/5296629.html

学习：懂得基本的期望和概率的知识

二：Light OJ 1038 基础题

思路：预处理即可

//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！
//取物问题一定要小心先手胜利的条件
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
const int maxn = 1e5 + ;
double dp[maxn];

int main(){
    for (int i = ; i <= maxn - ; i++){
        int cnt = ;
        double sum = ;
        for (int j = ; j * j <= i; j++){
            if (i % j == ){
                sum += dp[j]; cnt++;
                if (j * j != i){
                    sum += dp[i / j]; cnt++;
                }
            }
        }
        sum += cnt;
        dp[i] = sum / (cnt - );
    }
    int t; cin >> t;
    for (int i = ; i <= t; i++){
        int n; scanf("%d", &n);
        printf("Case %d: %.12f\n", i, dp[n]);
    }
    return ;
}

学习：预处理技能

三：Light oj1079

题目大意：抢银行;一个安全概率p,和银行的个数n;接下去给出每个银行可以抢到的钱,还有抢劫这个银行被抓的概率;问在被抓的概率小于等于p的情况下,最多抢到多少钱;

思路:定义dp[i]目前拿了i元还没有被抓住的最大概率

//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！
//取物问题一定要小心先手胜利的条件
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
const double eps = 1e-;
const int maxn =  + ;
double dp[maxn * maxn];///目前拿了j元还没有被抓住的最大概率
int n;
pair<int, double> p[maxn];

int main(){
    int kase = ;
    int t; cin >> t;
    while(t--){
        memset(dp, , sizeof(dp));
        memset(p, , sizeof(p));
        double pro; int sum = ;
        scanf("%lf %d", &pro, &n);
        for (int i = ; i <= n; i++){
            int val; double t;
            scanf("%d%lf", &val, &t);
            p[i] = mk(val, t);
            sum += val;
        }
        dp[] = ;
        for (int i = ; i <= n; i++){
            for (int j = sum; j >= p[i].first; j--){
                dp[j] = max(dp[j - p[i].first] * ( - p[i].second), dp[j]);
            }
        }
        int ans = ;
        for (int i = ; i <= sum; i++){
            ///printf("%.12f\n", dp[i]);
            if (pro -  + dp[i] > eps){
                ans = i;
            }
        }
        printf("Case %d: %d\n", ++kase, ans);
    }
    return ;
}

四：生日悖论

题目大意：给你n天，至少有几个人来参加，生日为同一天的概率超过50%？

思路：反过来定义dp[i]表示生日都不相同的概率即可。

//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！
//取物问题一定要小心先手胜利的条件
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
const double eps = 1e-;
const int maxn = 1e5 + ;
double dp[maxn];///生日都不相同的概率

int solve(int n){
    memset(dp, , sizeof(dp));
    dp[] = 1.0;
    for (int i = ; i <= n; i++){
        dp[i] = dp[i - ] * (1.0 * (n - i + ) / n);
        if ( - dp[i] >= 0.5) return i-;
    }
}

int main(){
    int kase = ;
    int t; cin >> t;
    while (t--){
        int n; scanf("%d", &n);
        printf("Case %d: %d\n", ++kase, solve(n));
    }
    return ;
}

五：Light oj 1248

题目大意：给你n个面的东西，投掷，每个面出现至少一次的概率？

也可以看这个人的http://blog.csdn.net/u011686226/article/details/39928597

定义：dp[i]表示还需要扔i个面所需要投掷次数的期望值。然后每一次投掷是有两种可能性，一种是在已经出现过的面中，另一种是在没有出现过的面中，所以我们可以定义dp[i] = i/n * dp[i] + (n-i)/n * dp[i + 1] + 1;所以移项就好了。

如果想要简便一点想的话，就是6*1+6*（1/2）+6*（1/3）+6*（1/4）+6*（1/5）+6*（1/6）。

不过我还是根据期望的定义来写了。。。先算出概率，再求加权和

//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！
//取物问题一定要小心先手胜利的条件
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define haha printf("haha\n")
const int maxn = 1e5 + ;
int n;
double dp[maxn];///定义，目前已经出现i种不同颜色的概率

int main(){
    int t; cin >> t;
    int kase = ;
    while (t--){
        scanf("%d", &n);
        for (int i = ; i <= n; i++){
            dp[i] = 1.0 / i;
        }
        double ans = ;
        for (int i = ; i <= n; i++){
            ans += dp[i] * n * 1.0;
        }
        printf("Case %d: %.12f\n", ++kase, ans);
    }
    return ;
}

学习：期望的定义是：每个的概率*权值

六：lightOJ 1265

题目大意：有t个老虎，d个鹿，有以下操作

Ｔ－Ｍ　Ｔ会吃掉Ｍ 
Ｔ－Ｄ　Ｔ会吃掉Ｄ 
Ｄ－Ｄ　Ｎｏｔｈｉｎｇ 
Ｍ－Ｄ　Ｍ可以选择杀与不杀Ｄ 
Ｔ－Ｔ　两只Ｔ会互相残杀（Ｔｗｏ　Ｄｉｅ）

可以看看这个人的http://blog.csdn.net/challengerrumble/article/details/52528951

思路一：定义dp[i][j]表示还有i只老虎，j只鹿的概率，转移就好了

//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！
//取物问题一定要小心先手胜利的条件
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define haha printf("haha\n")
const int maxn =  + ;
double dp[maxn][maxn];///还有i只老虎，j只鹿的概率
int n, m;

int main(){
    int T; cin >> T;
    for (int kase = ; kase <= T; kase++){
        scanf("%d%d", &n, &m);
        if (n %  == ) {printf("Case %d: %.10f\n", kase, 0.0); continue;}
        memset(dp, , sizeof(dp));
        dp[n][m] = ;
        for (int i = n; i >= ; i--){
            for (int j = m; j >= ; j--){
                int sum = i * j + i * (i - ) /  + i;///总可能性
                if (sum == ) continue;
                if (j != ) dp[i][j - ] += 1.0 * dp[i][j] * i * j / sum;
                if (i >= ) dp[i - ][j] = 1.0 * dp[i][j] * i * (i - ) /  / sum;
            }
        }
        double ans = ;
        for (int i = ; i <= m; i++) ans += dp[][i];
        printf("Case %d: %.10f\n", kase, ans);
    }
    return ;
}

思路二：定义dp[i] = 目前有i只老虎，老虎全部死亡的概率

因为鹿对我们的存活没有影响，然后我们定义人从来都不杀鹿，这样可以让自己的存活率最大。

所以：

//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！
//取物问题一定要小心先手胜利的条件
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define haha printf("haha\n")
const int maxn =  + ;
double dp[maxn];
int n, m;

int main(){
    int T; cin >> T;
    for (int kase = ; kase <= T; kase++){
        scanf("%d%d", &n, &m);
        if (n %  == ){
            printf("Case %d: %.10f\n", kase, 0.0);
            continue;
        }
        dp[n] = 1.0;
        for (int i = n; i >= ; i--){
            int sum = i * (i - ) /  + i;
            if (!sum) continue;
            if (i >= ) dp[i - ] = dp[i] * i * (i - ) /  / sum;
        }
        printf("Case %d: %.10f\n", kase, dp[]);
    }
    return ;
}

学习：需要懂得目前哪些东西是无关变量，再加上一点的贪心即可

七：

八：

九：