[HNOI2004]树的计数 prufer数列

题面：

一个有n个结点的树，设它的结点分别为v1, v2, …, vn，已知第i个结点vi的度数为di，问满足这样的条件的不同的树有多少棵。给定n，d1, d2, …, dn，你的程序需要输出满足d(vi)=di的树的个数。

题解：

乍一看是组合数学，，，当然了，实际上也是组合数。

只不过要是知道prufer数列就很简单了。

那先来看看prufer数列吧！

将树转化成Prufer数列的方法

一种生成Prufer序列的方法是迭代删点，直到原图仅剩两个点。对于一棵顶点已经经过编号的树T，顶点的编号为{1,2,...,n}，在第i步时，移去所有叶子节点（度为1的顶点）中标号最小的顶点和相连的边，并把与它相邻的点的编号加入Prufer序列中，重复以上步骤直到原图仅剩2个顶点。　　------------------------------摘自百度百科

同时，prufer数列还支持再转化为树：

设{a1,a2,..an-2}为一棵有n个节点的树的Prufer序列，另建一个集合G含有元素{1..n}，找出集合中最小的未在Prufer序列中出现过的数，将该点与Prufer序列中首项连一条边，并将该点和Prufer序列首项删除，重复操作n-2次，将集合中剩余的两个点之间连边即可。　　------------------------------摘自百度百科

这里我们可以观察到，树和prufer数列是一一对应的关系，也就是说一棵树的prufer数列是唯一确定的，同理，一个prufer数列对应的树也是唯一确定的，

这就非常妙妙了。

我们通过观察将树转化为prufer数列的方法可以得知，一个点在prufer数列中出现的次数实际上就是一个点的入度-1，

也就是说这道题实际上是：

给定prufer数列的限制条件，求树的种数

然后我们又知道树和prufer数列是一一对应的，所以题面就变成了：

给定prufer数列中各个点的出现次数，求prufer数列不重复的全排列

那做法就很清晰了

因为prufer数列的长度是n-2,(看上面的转换方法很容易发现）

所以全排列是(n-2)!,但是由于有重复出现的点，因此这些排列中会有很多重复的，

有哪些重复呢？

稍微了解一点组合数相关知识就知道了，

假设点i出现了x次，那么对于任意一次排列，这x个相同的点都有x!种排列方式，

因此一种排列就会因为点i而被多计算x!次，其他也是一样的，

所以总的公式就是

(n-2)!/(s[1]! * s[2]!.....)

其中s[i]表示点i在prufer数列中的出现次数（也就是入度-1）

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define R register int
 #define AC 170
 #define LL long long
 int n,all;
 int s[AC];
 LL ans;
 /*prufer序列emmmm，，，
 貌似说的还是比较有道理的？
 任意prufer序列可以对应唯一确定的树，所以可以求prufer序列的不重复的全排列
 通过求prufer序列的过程可以感知到，，，一个点在prufer序列中的出现次数，应当是其度数-1
 因此这里给出了度数，也就相当于给出了prufer序列，那么对其求不重复的全排列即可

 一棵n个节点的无根树唯一地对应了一个长度为n-2的数列，数列中的每个数都在1到n的范围内。
 上面这句话比较重要。通过上面的定理，
 1）我们可以直接推出n个点的无向完全图的生成树的计数：n^(n-2)   即n个点的有标号无根树的计数。
 2）一个有趣的推广是，n个节点的度依次为D1, D2, …, Dn的无根树共有   (n-2)! / [ (D1-1)!(D2-1)!..(Dn-1)! ]  个，
 因为此时Prüfer编码中的数字i恰好出现Di-1次。
 即 n种元素，共n-2个，其中第i种元素有Di-1个，求排列数。
 3）n个节点的度依次为D1, D2, …, Dn，令有m个节点度数未知，求有多少种生成树？(BZOJ1005 明明的烦恼)
 令每个已知度数的节点的度数为di，有n个节点，m个节点未知度数，left=(n-2)-(d1-1)-(d2-1)-...-(dk-1)
 已知度数的节点可能的组合方式如下
 (n-2)!/(d1-1)!/(d2-1)!/.../(dk-1)!/left!
 剩余left个位置由未知度数的节点随意填补，方案数为m^left
 于是最后有
 ans=(n-2)!/(d1-1)!/(d2-1)!/.../(dk-1)!/left! * m^left
 by https://www.cnblogs.com/dirge/p/5503289.html */
 int read()
 {
     int x=;char c=getchar();
     while(c > '' || c < '') c=getchar();
     while(c >= '' && c <= '') x=x* + c - '',c=getchar();
     return x;
 }

 void pre()
 {
     n=read();
     for(R i=;i<=n;i++)
     {
         s[i]=read() -  , all+=s[i] + ;
         if(s[i] <  && n != )//error!!! 如果只有一个节点的话是可以允许没有边的
         {//但也要注意将边都集中在某几个点上以至于后面的点不合法的情况
             printf("0\n");
             exit();
         }
     }
     if(all !=  * n - )//如果是不合法数据就直接退了
     {
         printf("0\n");
         exit();
     }
 }

 void work()
 {
     ans=;
     for(R i=n-; i> ;i--)//也许从高处开始乘会减少爆的可能性？毕竟除也是从高处开始的
     {
         ans *= i;
         for(R j=;j<=n;j++)//防爆措施
         {
             if(s[j] <= ) continue;
             while(!(ans % s[j]))
             {
                 ans/=s[j],--s[j];
                 if(s[j] == ) break;
             }
         }
     }
     printf("%lld\n",ans);
 }

 int main()
 {
 //    freopen("in.in","r",stdin);
     pre();
     work();
 //    fclose(stdin);
     return ;
 }