【转】BYV--有向图强连通分量的Tarjan算法

转自beyond the void 的博客：

https://www.byvoid.com/zhs/blog/scc-tarjan

注：红色为标注部分

[有向图强连通分量]

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

Low(u)=Min
{
    DFN(u),
    Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
    DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
}

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

◦如果一个节点u已经DFS访问结束，而且此时其low值等于dfn值，则说明u可达的所有节点，都不能到达任何在u之前被DFS访问的节点 ---- 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树中的根。

算法伪代码如下

tarjan(u)
{
    DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 为节点u设定次序编号和Low初值
    Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中
    for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边
        if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过
            tarjan(v)                  // 继续向下找
            Low[u] = min(Low[u], Low[v])
        else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内
            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
    if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根
        repeat
            v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
            print v
        until (u== v)
}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

附：tarjan算法的C++程序

void tarjan(int i)
{
    int j;
    DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
    instack[i]=true;
    Stap[++Stop]=i;
    for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
    {
        j=e->t;
        if (!DFN[j])
        {
            tarjan(j);
            if (LOW[j]<LOW[i])
                LOW[i]=LOW[j];
        }
        else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
            LOW[i]=DFN[j];
    }
    if (DFN[i]==LOW[i])
    {
        Bcnt++;
        do
        {
            j=Stap[Stop--];
            instack[j]=false;
            Belong[j]=Bcnt;
        }
        while (j!=i);
    }
}
void solve()
{
    int i;
    Stop=Bcnt=Dindex=0;
    memset(DFN,0,sizeof(DFN));
    for (i=1;i<=N;i++)
        if (!DFN[i])
            tarjan(i);
}

[参考资料]

Wikipedia
Amber的图论总结

BYVoid 原创作品，转载请注明。

◦思想： http://www.cnblogs.com/c1299401227/p/5402414.html

◦

◦做一遍DFS，用dfn[i]表示编号为i的节点在DFS过程中的访问序号(也可以叫做开始时间）用low[i]表示i节点DFS过程中i的下方节点所能到达的开始时间最早的节点的开始时间。（也就是之后的深搜所能到达的最小开始时间）初始时dfn[i]=low[i]

◦

◦在DFS过程中会形成一搜索树。在搜索树上越先遍历到的节点，显然dfn的值就越小。

◦

◦DFS过程中，碰到哪个节点，就将哪个节点入栈。栈中节点只有在其所属的强连通分量已经全部求出时，才会出栈。

◦（对于一个强连通分量和一个指出去的有向边，在输出这个强连通分量的时候，那条指出去的边的终点已经作为一个强连通分量统计，并且出栈了。）

◦如果发现某节点u有边连到搜索树（栈）中栈里的节点v，则更新u的low 值为dfn[v](更新为low[v]也可以，更新为low可以算是压缩路径，速度略快）。

◦

另外附一篇资料，写的也很好：

处理SCC(强连通分量问题)的Tarjan算法

---Comzyh

https://comzyh.com/blog/archives/517/

在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected),如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图.

如图所示,蓝色框圈起来的是一个强连通分量

通俗的说法是:从图G内任意一个点出发,存在通向图G内任意一点的的一条路径.

非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components,SCC).

求图强连通分量的意义是:由于强连通分量内部的节点性质相同,可以将一个强连通分量内的节点缩成一个点,即消除了环,这样,原图就变成了一个有向无环图(directed acyclic graph,DAG).显然对于一个无向图,求强连通分量没有什么意义,联通即为强连通.

求强连通分量比较高效的算法是SCC Tarjan算法,BYV牛有一个很好的说明,推荐大家看一看:有向图强连通分量的Tarjan算法« Beyond the Void,我在这里就不照搬了.

Tarjan 算法基本基于DFS,时间复杂度就是遍历图一遍,为Θ(N),Tarjan 貌似很喜欢深搜的样子,LCA被深搜活生生的弄成了Θ(N),SCC 看来一样,Tarjan 一出现,时间复杂度果然降了一个数量级.

先看BYV牛的CODE,写的真不错,虽然第一遍我没看懂,不过相信加了注释后会好理解多,如果有错误,别打我.

void tarjan(int i)//Tarjan
{
    int j;
    DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;//Index 时间戳
    instack[i]=true;//标记入栈
    Stap[++Stop]=i;//入栈
    for (edge *e=V[i];e;e=e->next)//枚举所有相连边
    {
        j=e->t;//临时变量
        if (!DFN[j])//j没有被搜索过
        {
            tarjan(j);//递归搜索j
            if (LOW[j]<LOW[i])//回溯中发现j找到了更老的时间戳
                LOW[i]=LOW[j];//更新能达到老时间戳
        }
        else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])//如果已经印有时间戳 且 时间戳比较小,则有环
            LOW[i]=DFN[j];//当前记录可追溯时间戳更新
    }
    if (DFN[i]==LOW[i])//可追溯最老是自己,表明自己是当前强连通分量的栈底
    {
        Bcnt++;//强连通分量数增加
        do
        {
            j=Stap[Stop--];//出栈顶元素
            instack[j]=false;//标记出栈
            Belong[j]=Bcnt;//记录j所在的强连通分量编号
        }
        while (j!=i);//如果是当前元素,弹栈完成
    }
}
void solve()
{
    int i;
    Stop=Bcnt=Dindex=0;
    memset(DFN,0,sizeof(DFN));//标记为为搜索过
    for (i=1;i<=N;i++)
        if (!DFN[i])
            tarjan(i);
}

SCC Tarjan算法的基本框架:

遍历一个点,指定一个唯一时间戳DFN[i];指定该点向前追溯可追溯到的最老时间戳LOW[i].
枚举当前点所有边,若DFN[j]=0表明未被搜索过,递归搜索之.
若DFN[j]不为0,则j被搜索过,这时判断j是否在栈中,且j的时间戳DFN[j]小于当前时间戳DFN[i],可判定成环.将LOW[i]设定为DFN[j]
若这个点LOW[i]和DFN[i]相等,说明这个节点是所有强连通分量的元素中在栈中最早的节点.
弹栈,将这个强连通分量全部弹出,缩成点.

这里解释下比较晦涩的两个词:

LOW[i],这个向前追溯可追溯到的最老时间戳的意思是根据有向图的方向遍历,在有环的情况下,向前追溯可以达到较早的点.在每次递归调用Tarjan(j)后我们可以高速较快的更新LOW[i]

至于所有强连通分量的元素中在栈中最早的节点.是这样的,所有自成强连通分量的节点或子图,在本次弹栈前都已经弹出去了,这时栈里所元素的LOW都大于等于DFN[该强连通分量的最早遍历节点],栈顶元素一定比下面元素的时间戳要大

在遍历完所有相关边之后再验证(DFN[i]==LOW[i]),可以避免有漏判情况,这时,当前节点的子节点已经将LOW更新的很优了,不存在一个强连通分量被包含在一个强连通分量里的情况.

学习SCC Tarjan算法有两道测验题:

POJ 2186 Popular Cows

POJ 1236 Network of Schools
参见Comzyh这两道强连通分量的题解

原创文章，转载请注明(最好把图片带走)： 转载自Comzyh的博客

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