一. 轨迹规划是什么?

在机器人导航过程中,如何控制机器人从A点移动到B点,通常称之为运动规划。运动规划一般又分为两步:

1、路径规划:在地图(栅格地图、四\八叉树、RRT地图等)中搜索一条从A点到B点的路径,由一系列离散的空间点(waypoint)组成。

2、轨迹规划:由于路径点可能比较稀疏、而且不平滑,为了能更好的控制机器人运动,需要将稀疏的路径点变成平滑的曲线或稠密的轨迹点,也就是轨迹。

2. 轨迹是什么?注意低次项在前

轨迹一般用n阶多项式(polynomial)来表示,即

其中p0,p1,...,pn为轨迹参数(n+1个),设参数向量p=[p0,p1,...,pn]T,则轨迹可以写成向量形式。

对于任意时刻t,可以根据参数计算出轨迹的位置P(osition),速度V(elocity),加速度A(cceleration),jerk,snap等。

一个多项式曲线过于简单,一段复杂的轨迹很难用一个多项式表示,所以将轨迹按时间分成多段,每段各用一条多项式曲线表示,形如:

k为轨迹的段数,为第i段轨迹的参数向量。

此外,实际问题中的轨迹往往是二维、三维甚至更高维,通常每个维度单独求解轨迹。

3. Minimum Snap轨迹规划

轨迹规划的目的:求轨迹的多项式参数p1,...,pk。
我们可能希望轨迹满足一系列的约束条件,比如:希望设定起点和终点的位置、速度或加速度,希望相邻轨迹连接处平滑(位置连续、速度连续等),希望轨迹经过某些路径点,设定最大速度、最大加速度等,甚至是希望轨迹在规定空间内(Obstruction check)等等。
通常满足约束条件的轨迹有无数条,而实际问题中,往往需要一条特定的轨迹,所以又需要构建一个最优的函数,在可行的轨迹中找出“最优”的那条特定的轨迹。  所以,我们将问题建模(fomulate)成一个约束优化问题,形如:

这样,就可以通过最优化的方法求解出目标轨迹参数p。注意:这里的轨迹参数p是多端polynomial组成的大参数向量

我们要做的就是:将优化问题中的f(p)函数和Aeq,beq,Aieq,bieq参数给列出来,然后丢到优化器中求解轨迹参数p。

Minimum Snap顾名思义,Minimum Snap中的最小化目标函数是Snap(加速度的二阶导),当然你也可以最小化Acceleration(加速度)或者Jerk(加速度的导数),至于它们之间有什么区别,quora上有讨论。一般不会最小化速度。

4. 一个简单的例子

给定包含起点终点在内的k+1个二维路径点pt0,pt1,...,ptk,pti=(xi,yi),给定起始速度和加速度为v0,a0,末端加速度为ve,ae,给定时间T,规划出经过所有路径点的平滑轨迹。

a. 初始轨迹分段与时间分配

根据路径点,将轨迹分为k段,计算每段的距离,按距离平分时间T(匀速时间分配),得到时间序列t0,t1,...,tk对x,y维度单独规划轨迹。后面只讨论一个维度。

时间分配的方法:匀速分配或梯形分配,假设每段polynomial内速度满足匀速或梯形速度变化,根据每段的距离将总时间T分配到每段。

这里的轨迹分段和时间分配都是初始分配,在迭代算法中,如果 Obstruction check和 feasibility check不满足条件,会插点或增大某一段的时间。

b. 构建优化函数

Minimum Snap的优化函数为:

其中,

注意:r,c为矩阵的行索引和列索引,索引从0开始,即第一行 r=0

可以看到,问题建模成了一个数学上的二次规划(Quadratic Programming,QP)问题。

c. 构建等式约束方程

  1. 设定某一个点的位置、速度、加速度或者更高为一个特定的值,可以构成一个等式约束。
    例如:

由于要过中间点,对中间点的位置也构建等式约束,方法同上。

2. 相邻段之间的位置、速度、加速度连续可以构成一个等式约束

例如第i、i+1段的位置连续构成的等式约束为

合并所有等式约束,得到

等式约束个数=3(起始PVA)+k-1(中间点的p)+3(终点pva)+3(k-1)(中间点PVA连续)=4k+2。

d. 构建不等式约束

不等式约束与等式约束类似,也是设置某个点的P、V、A小于某一特定值,从而构建Aieqp=bieq

,不等式约束一般是在corridor中用的比较多,这里暂时先不使用不等式约束。

e. 求解

利用QP求解器进行求解,在MATLAB中可以使用quadprog() 函数,C++的QP求解器如OOQP,也可以自己去网上找。

参考资料:

1、深蓝学院

2、https://blog.csdn.net/q597967420/article/details/76099491

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