[NOIP2017]逛公园 题解

我连D1T3都不会我联赛完蛋了

题目描述

策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张 N 个点 M 条边构成的有向图，且没有 自环和重边。其中1号点是公园的入口， N 号点是公园的出口，每条边有一个非负权值， 代表策策经过这条边所要花的时间。

策策每天都会去逛公园，他总是从1号点进去，从 N 号点出来。

策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个 特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果1号点 到 N 号点的最短路长为 d ，那么策策只会喜欢长度不超过 d + K 的路线。

策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗？

为避免输出过大，答案对 P 取模。

如果有无穷多条合法的路线，请输出 -1 。

输入

第一行包含一个整数 T , 代表数据组数。

接下来 T 组数据，对于每组数据： 第一行包含四个整数 N,M,K,P ，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来 M 行，每行三个整数 ai​,bi​,ci​ ，代表编号为 ai​,bi​ 的点之间有一条权值为 ci​ 的有向边，每两个整数之间用一个空格隔开（可能有0边）。

对于 100%的数据, 1≤ P ≤ 10⁹，N ≤ 100000 ，M ≤ 200000 ，1 ≤ ai，bi ≤ N，0 ≤ ci ≤ 1000。

输出

输出文件包含 T 行，每行一个整数代表答案。

$Solution:$

30分是裸的spfa最短路计数(要搁我估计拿了就歇B了)

注意到K数据范围很小，考虑把它放到状态里跑dp。

首先建反图跑一下最短路，这样我们就得到了所有点到n的最短距离。

有什么用？转移的时候就可以知道如果走这条边，会对“比最短路多走的量”作出多少贡献。

设$f[x][k]$为x到n的距离不超过x的n最短路距离+k的方案数，可得转移：

$f[x][k]=\sum f[y][k-(d(y,n)-d(x,n)+w[i])]$，$d(y,n)$表示y到n的最短路长度。

记忆化搜索即可。用一个二维数组记录一下该状态是否在栈中，用来判0环。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#define pa pair<int,int>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=4e5+5;
int K,T,n,m,dis[N],v[N],ins[N][55];
ll mod,f[N][55];
namespace G
{
    int to[M],head[N],nxt[M],w[M],tot;
    void add(int x,int y,int z)
    {
        to[++tot]=y;
        nxt[tot]=head[x];
        head[x]=tot;
        w[tot]=z;
    }
}
namespace rev
{
    int to[M],head[N],nxt[M],w[M],tot;
    void add(int x,int y,int z)
    {
        to[++tot]=y;
        nxt[tot]=head[x];
        head[x]=tot;
        w[tot]=z;
    }
}
void dj()
{
    priority_queue<pa> q;
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(v,0,sizeof(v));
    dis[n]=0;
    q.push(make_pair(0,n));
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.top().second;q.pop();
        if(v[x])continue;
        v[x]=1;
        for(int i=rev::head[x];i;i=rev::nxt[i])
        {
            int y=rev::to[i];
            if(dis[y]>dis[x]+rev::w[i])
                dis[y]=dis[x]+rev::w[i],q.push(make_pair(-dis[y],y));
        }
    }
}
ll dfs(int x,int k)
{
    if(ins[x][k])return -1;
    if(f[x][k])return f[x][k];
    ins[x][k]=1;
    if(x==n)f[x][k]=1;
    for(int i=G::head[x];i;i=G::nxt[i])
    {
        int y=G::to[i],now=dis[y]-dis[x]+G::w[i];
        if(now<=k)
        {
            ll ret=dfs(y,k-now);
            if(ret==-1)return f[x][k]=-1;
            (f[x][k]+=ret)%=mod;
        }
    }
    ins[x][k]=0;
    return f[x][k];
}
void work()
{
    n=read();m=read();K=read();mod=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        G::head[i]=rev::head[i]=v[i]=0;
    G::tot=rev::tot=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read(),z=read();
        G::add(x,y,z);
        rev::add(y,x,z);
    }
    dj();
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(ins,0,sizeof(ins));
    printf("%lld\n",dfs(1,K));
}
int main()
{
    T=read();
    while(T--)work();
    return 0;
}