【BZOJ2004】[Hnoi2010]Bus 公交线路 状压+矩阵乘法

【BZOJ2004】[Hnoi2010]Bus 公交线路

Description

小Z所在的城市有N个公交车站，排列在一条长(N-1)km的直线上，从左到右依次编号为1到N，相邻公交车站间的距离均为1km。 作为公交车线路的规划者，小Z调查了市民的需求，决定按下述规则设计线路：

1.设共K辆公交车，则1到K号站作为始发站，N-K+1到N号台作为终点站。

2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过（始发站和终点站也算被经过）。 

3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。 

4.一辆公交车经过的相邻两个

站台间距离不得超过Pkm。 在最终设计线路之前，小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大，你只需求出答案对30031取模的结果。

Input

仅一行包含三个正整数N K P，分别表示公交车站数，公交车数，相邻站台的距离限制。

N<=10^9，1<P<=10，K<N，1<K<=P

Output

仅包含一个整数，表示满足要求的方案数对30031取模的结果。

Sample Input

样例一：10 3 3
样例二：5 2 3
样例三：10 2 4

Sample Output

1
3
81

HINT

【样例说明】

样例一的可行方案如下： (1,4,7,10)，(2,5,8)，(3,6,9)

样例二的可行方案如下： (1,3,5)，(2,4) (1,3,4)，(2,5) (1,4)，(2,3,5) 

P<=10 , K <=8

题解：看到P和K很小想到状压。用f[i][S]表示已经覆盖了前i个车站，每个车的位置的状态为S的方案数（S只包含前P个车站）。

由于n很大，考虑矩乘优化。我们将没有用的状态扔掉，最终矩阵大小是不超过$C_{10}^5\times C_{10}^5=252\times 252$的。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int P=30031;
int n,m,k,tot;
struct M
{
	int v[260][260];
	M () {memset(v,0,sizeof(v));}
	int * operator [] (int a) {return v[a];}
	M operator * (const M &a) const
	{
		M b;
		int i,j,k;
		for(i=1;i<=tot;i++)	for(j=1;j<=tot;j++)	for(k=1;k<=tot;k++)	b.v[i][j]=(b.v[i][j]+v[i][k]*a.v[k][j])%P;
		return b;
	}
}S,T;
int r[1<<10],cnt[1<<10];
inline void pm(int y)
{
	while(y)
	{
		if(y&1)	S=S*T;
		T=T*T,y>>=1;
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
	int i,j;
	for(i=1;i<(1<<m);i++)
	{
		cnt[i]=cnt[i-(i&-i)]+1;
		if(cnt[i]==k)	r[i]=++tot;
	}
	for(i=1;i<(1<<m);i++)	if(r[i])
	{
		if(i&1)	T[r[i]][r[(i>>1)|(1<<(m-1))]]++;
		else	for(j=0;j<m;j++)	if((i>>j)&1)	T[r[i]][r[((i^(1<<j))>>1)|(1<<(m-1))]]++;
	}
	S[1][r[((1<<k)-1)<<(m-k)]]=1;
	pm(n-k);
	printf("%d",S[1][r[((1<<k)-1)<<(m-k)]]);
	return 0;
}