SPOJ.TLE - Time Limit Exceeded(DP 高维前缀和)

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\(Description\)

给定长为\(n\)的数组\(c_i\)和\(m\)，求长为\(n\)的序列\(a_i\)个数，满足：\(c_i\not\mid a_i,\quad a_i\&a_{i+1}=0\)。

\(n\leq 50，m\leq 15，0\leq a_i<2^m，0<c_i\leq 2^m\)。

\(Solution\)

DP。限制都是与值有关的，所以令\(f_i\)表示以\(i\)这个数结尾的序列\(a\)的个数。

转移即\(f_i=\sum_{j,i\&j=0}f_j\)。\(i\&j=0\)需要\(3^n\)枚举补集的子集，但是还可以把它写成\(i\&(\sim j)=i\)，即\(i\)是\(\sim j\)的子集。

所以先把上一次的DP数组下标反转，就可以用高维前缀和优化枚举超集了。

对于\(c_i\not\mid a_i\)的限制，每次转移完将下标为\(c_i\)倍数的\(f_i\)置为\(0\)即可。

这样转移\(n\)次就可以了。复杂度\(O(nm2^m)\)。

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反转下标的那种写法好骚啊。。

还有枚举子集的方法表示不知道为什么对。。：http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9911351.html

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记一下（我知道的）高维前缀和的两种形式：

for (int j = 0; j < m; ++j)//必须先枚举这个 //求超集的和
    for (int s = 0; s < 1<<m; ++s)
        if (!(s >> j & 1)) f[s] += f[s | (1 << j)];

for (int j = 0; j < m; j++)//子集卷积
    for (int s = 0; s < 1<<m; ++s)
        if (s >> j & 1) f[s] += f[s ^ (1 << j)]);

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mod 1000000000
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
typedef long long LL;
const int N=(1<<15)+5;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}

int main()
{
	static int f[N],tmp[N];

	for(int T=read(); T--; )
	{
		int n=read(),m=read(),lim=(1<<m)-1;
		memset(f,0,sizeof f);
		f[0]=1;
		for(int i=1; i<=n; ++i)
		{
//			for(int s=0; s<=lim; ++s) tmp[s^lim]=f[s];
//			for(int s=0; s<=lim; ++s) f[s]=tmp[s];
			for(int s=0; s<=lim; s+=2) std::swap(f[s],f[s^lim]);
			for(int j=0; j<m; ++j)
				for(int s=0; s<=lim; ++s)
					if(!(s>>j&1)) Add(f[s],f[s|(1<<j)]);
			int ci=read();
			for(int j=0; j<=lim; j+=ci) f[j]=0;
		}
		LL ans=0;
		for(int i=0; i<=lim; ++i) ans+=f[i];
		printf("%d\n",(int)(ans%mod));
	}
	return 0;
}