【问题描述】
有4个长度为N的数组a,b,c,d。现在需要你选择N个数构成数组e,数组e满足
a[i]≤e[i]≤b[i]以及

并且使得

最大。
【输入格式】
输入文件名为abcd.in。
输入文件共 N+1 行。
第 1 行包含1个正整数N。
第 i+1 行包含4个整数a[i],b[i],c[i],d[i]。
【输出格式】
输出文件名为abcd.out。
输出共1行,包含1个整数,表示所给出公式的最大值。输入数据保证一定有
解。
【输入输出样例1】

abcd.in abcd.out
5 -
1 1 2 5
-2 2 1 2
0 1 1 3
-2 -1 3 10
-2 2 3 9
2

【输入输出样例2】

abcd.in abcd.out
10
1 10 1 7
-10 10 2 0
-10 10 2 2
-10 10 2 0
1 10 1 0
-10 10 2 0
90

分析:比较容易看出来这是一道多重背包的题.但是朴素做法肯定过不了,需要优化.比较常见的优化是二进制法和单调队列.这道题用二进制法比较好处理.

由于[ai,bi]中可能包含负数,所以需要对式子变形.

[ai,bi] ---> [0,bi-ai] + ai = ei.  Σei*ci = 0,因为要让背包的容积是最大的,所以ei取bi-ai,那么Σei*ci = 0 ---> Σ(bi - ai)*ci + ai*ci = 0,移项,可以得到背包的容积为-Σai*ci.要最大化Σei*di ---> Σ(bi-ai)*di + ai*di.

这样变形后,ei的取值范围就变成了[0,bi-ai],就可以分解成二进制数来做了.

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm> using namespace std; int n, a[], b[], c[], d[], m,f[], ans, v[], w[], cnt; void init(int num, int x, int y)
{
for (int i = ; i <= num; i *= )
{
v[++cnt] = x * i;
w[cnt] = y * i;
num -= i;
}
if (num)
{
v[++cnt] = x * num;
w[cnt] = y * num;
}
} int main()
{
memset(f, - / , sizeof(f));
f[] = ;
scanf("%d", &n);
for (int i = ; i <= n; i++)
{
scanf("%d%d%d%d", &a[i], &b[i], &c[i], &d[i]);
m -= a[i] * c[i];
b[i] -= a[i];
ans += a[i] * d[i];
}
for (int i = ; i <= n; i++)
init(b[i], c[i], d[i]);
for (int i = ; i <= cnt; i++)
for (int j = m; j >= v[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
printf("%d\n", ans + f[m]);
return ;
}

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