漫话最小割 part1
codeforces 724D
[n个城市每个城市有一个特产的产出,一个特产的最大需求。当i<j时,城市i可以运最多C个特产到j。求所有城市可以满足最大的需求和]
[如果直接最大流建图显然会T。考虑将最大流问题转换为最小割。每个城市会被划分到S集或者T集。]
[另dp[i][j]表示前i个城市有j个城市在S集的最大和。
dp(i, j) = min(dp(i - 1, j - 1) + si, dp(i - 1, j) + pi + j * c).
[将网络流转化为最小割,并用DP加以解决]
HDU 4971
[经典题变形: 有n个项目有收益,m个投资有花费。每个项目需要完成若干个投资,同时投资直接也有依赖关系]
[我们可以将收益先取走,将收益也转化为花费。S向项目连边,投资向T连边,流量都是对应花费。依赖关系的流量为INF。最小割即为答案]
Codechef SPCLN
[n个发射器,m个陨石。每个发射器可以打一些陨石并有收益。陨石被打直接有依赖关系,n个发射器依次发射。求最大收益]
[每个陨石用n+1个点的链表示,流量依次为每个发射器的花费(那个陨石拿100收益,多出来的为花费),如果打不了就是INF。S连向第一个点,最后一个点连向T。陨石i依赖j,则在i的链的第k个连向j的链的k+1,流量为INF,最小割为答案]
[观察上面两个问题的特点。]
[1.有花费也有收益。对于收益,我们应该将其转化为花费以便最小割问题解决。单个物品的转换比较简单,先获得收益,再把收益变为花费。多个物品的转换,可以选择一个足够大的值获得,再把这个值减去收益变为花费。]
[2.有依赖关系。在还有收益的模型里依赖关系非常好理解,如果你想要获得这个好处,你必须blabla…。但应该我们将收益转化为花费,依赖关系就会变为这几个代价,你至少要挑一个承受。]
[由1,2。我们得到一个一般的最小割建模思路。首先将问题转换成若干个事件,每个事件有一个花费。有一些事件间的关系,每一个关系可以表述为:这些事件必须至少发生一件,或者,这些事件不能全不发生。于是我们可以用边刻画事件,流量为费用,如果不能发生就是INF。每一个关系我们将这些事件从S连到T。为了刻画关系更加方便,用INF的边单纯表示事件的连接,分为或连接和蕴含连接。或连接的实际意义是如果该连接之前的事件没有发生,则之后必须发生一件。蕴含连接的实际意义是如果该连接之前的事件发生,则之后得事件也要发生。两种连接的方式分别是尾连头,头连头]
[经过总结,我们得出一个结论。什么样的问题可以用最小割解决呢?逻辑上只包括或关系或者蕴含关系]
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