【xsy2978】Product of Roots 生成函数+多项式ln+多项式exp

题目大意：给你两个多项式$f(x)$和$g(x)$，满足$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)$，$g(x)=\prod\limits_{i=1}^{m}(b_i+1)$。

现在给你一个多项式$h(x)$，满足$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$

请输出多项式$h$的前$k$项，在模$998244353$意义下进行。

数据范围：$n,m≤10^5$。

我们现在有:

$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)$

我们在等式两边都取对数，然后泰勒展开，得到：

$\begin{align} ln \big(f(x)\big) =&\sum\limits_{i=1}^{n} ln(a_i+1) \\=&\sum\limits_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^ka_i^{k}\end{align}$

我们不难推出：

$[x^k]ln(f(x))=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}$

$g(x)$同理。

我们现在来考虑$h(x)$，我们现在有：

$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$

和上面一样，我们在等式两边都取对数，然后泰勒展开，得到：

$\begin{align}
ln\big(h(x)\big) =&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ln(a_ib_j+1)\\
=&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^ka_i^{k}b_j^{k}\\
=&\sum\limits_{k=1}^{\infty}x^k \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} b_i^{k}\\
=&\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(-1)^{k+1}}x^k \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} \frac{(-1)^{k+1}}{k}b_i^{k}\\
\end{align}$

我们不难推出：

$\begin{align}[x^k]ln(h(x))=&\frac{k}{(-1)^{k+1}} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} \frac{(-1)^{k+1}}{k}b_i^{k}\\
=&\frac{k}{(-1)^{k+1}}[x^k]ln\big(f(x)\big)[x^k]ln\big(g(x)\big)
\end{align}$

我们可以考虑，用多项式求$ln$，求出$ln\big(f(x)\big)$和$ln\big(g(x)\big)$，然后求出$ln(h(x))$后再用多项式$exp$算回去，就得到多项式$h$了。

套一个多项式的板子就可以了。

完结撒花

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M (1<<19)
 #define L long long
 #define MOD 998244353
 #define G 3
 using namespace std;

 L pow_mod(L x,L k){
     L ans=;
     while(k){
         if(k&) ans=ans*x%MOD;
         x=x*x%MOD; k>>=;
     }
     return ans;
 }

 void change(L a[],int n){
     for(int i=,j=;i<n-;i++){
         if(i<j) swap(a[i],a[j]);
         int k=n>>;
         while(j>=k) j-=k,k>>=;
         j+=k;
     }
 }
 void NTT(L a[],int n,int on){
     change(a,n);
     for(int h=;h<=n;h<<=){
         L wn=pow_mod(G,(MOD-)/h);
         for(int j=;j<n;j+=h){
             L w=;
             for(int k=j;k<j+(h>>);k++){
                 L u=a[k],t=w*a[k+(h>>)]%MOD;
                 a[k]=(u+t)%MOD;
                 a[k+(h>>)]=(u-t+MOD)%MOD;
                 w=w*wn%MOD;
             }
         }
     }
     if(on==-){
         L inv=pow_mod(n,MOD-);
         for(int i=;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
         reverse(a+,a+n);
     }
 }

 void getinv(L a[],L b[],int n){
     if(n==){b[]=pow_mod(a[],MOD-); return;}
     static L c[M],d[M];
     memset(c,,n<<); memset(d,,n<<);
     getinv(a,c,n>>);
     for(int i=;i<n;i++) d[i]=a[i];
     NTT(d,n<<,); NTT(c,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) b[i]=(*c[i]-d[i]*c[i]%MOD*c[i]%MOD+MOD)%MOD;
     NTT(b,n<<,-);
     for(int i=;i<n;i++) b[n+i]=;
 }

 void qiudao(L a[],L b[],int n){
     memset(b,,sizeof(b));
     for(int i=;i<n;i++) b[i-]=i*a[i]%MOD;
 }
 void jifen(L a[],L b[],int n){
     memset(b,,sizeof(b));
     for(int i=;i<n;i++) b[i+]=a[i]*pow_mod(i+,MOD-)%MOD;
 }

 void getln(L a[],L b[],int n){
     static L c[M],d[M];
     memset(c,,n<<); memset(d,,n<<);
     qiudao(a,c,n); getinv(a,d,n);
     NTT(c,n<<,); NTT(d,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) c[i]=c[i]*d[i]%MOD;
     NTT(c,n<<,-);
     jifen(c,b,n);
 }

 void getexp(L a[],L b[],int n){
     if(n==){b[]=; return;}
     static L lnb[M]; memset(lnb,,n<<);
     getexp(a,b,n>>); getln(b,lnb,n);
     for(int i=;i<n;i++) lnb[i]=(a[i]-lnb[i]+MOD)%MOD,b[i+n]=;
     lnb[n]=;
     lnb[]=(lnb[]+)%MOD;
     NTT(lnb,n<<,); NTT(b,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) b[i]=b[i]*lnb[i]%MOD;
     NTT(b,n<<,-);
     for(int i=;i<n;i++) b[i+n]=;
 }

 int n,m,k,len;
 L f[M]={},g[M]={},h[M]={},lf[M]={},lg[M]={},lh[M]={};

 int main(){
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
     for(len=;len<=(n+m+);len<<=);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lld",f+i);
     for(int i=;i<=m;i++) scanf("%lld",g+i);
     getln(f,lf,len);
     getln(g,lg,len);
     for(int i=;i<len;i++) lh[i]=(lf[i]*lg[i]%MOD*(i&?i:-i)%MOD+MOD)%MOD;
     getexp(lh,h,len);
     for(int i=;i<k;i++) printf("%lld ",h[i]);
 }