差分约束算法————洛谷P4878 [USACO05DEC] 布局

题目：

不难看出题意主要是给出ml+md个格式为xi-xj<=ak的不等式，xi-xj为i，j俩头牛的距离，要我们求x1-xn的最大值。

经过上下加减我们可以将这几个不等式化成x1-xn<=a1+a2+a3+a4+....+ak,在这加减的过程中我们不难看到dijstra的身影，这加加减减的过程不正是松弛操作吗！

这时我们就得到了正解——差分约束算法，此算法主要用于处理差分约束系统：如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，形成m个形如ai-aj≤k的不等式(i,j∈[1,n],k为常数),则称其为差分约束系统。

结论：求解差分约束系统，都可以转化成图论的单源最短路径（或最长路径）问题。

关于差分约束与最短路模型的关系

我们观察上面例子中的不等式，都是x[i] - x[j] <= a[k]，可以进行移项，成为x[i] <= x[j] + a[k]，我们令a[k] = w(j, i)，dis[i]=x[i],并使i=v,j=u,那么原始就变为：dis[u]+w(u,v)>=dis[v],于是可以联想到最短路模型中的一部分代码

if(dis[u]+w(u,v)<=dis[v])
{
    dis[v]=dis[u]+w(u,v);
}

这不正与松弛操作相似吗？

但是好像不等号方向刚好相反，但其实这并不矛盾

上面的代码要实现的是使dis[u]+w(u,v)>dis[v],而对于不等式，我们进行建边的操作：对于每个不等式 x[i] - x[j] <= a[k]，对结点 j 和 i 建立一条 j -> i的有向边，边权为a[k]，求x[n-1] - x[0] 的最大值就是求 0 到n-1的最短路，两者刚好吻合。所以求解差分约束问题就转化为了最短路问题。

问题解的存在性

由于在求解最短路时会出现存在负环或者终点根本不可达的情况，在求解差分约束问题时同样存在

（1）存在负环

如果路径中出现负环，就表示最短路可以无限小，即不存在最短路，那么在不等式上的表现即X[n-1] - X[0] <= T中的T无限小，得出的结论就是 X[n-1] - X[0]的最大值不存在。在SPFA实现过程中体现为某一点的入队次数大于节点数。（貌似可以用sqrt(num_node)来代替减少运行时间）

（2）终点不可达

这种情况表明X[n-1]和X[0]之间没有约束关系，X[n-1] - X[0]的最大值无限大，即X[n-1]和X[0]的取值有无限多种。在代码实现过程中体现为dis[n-1]=INF。

参考的文章链接：https://blog.csdn.net/my_sunshine26/article/details/72849441

注意

1.因为本题中可能存在负权环（众所周知dijstra在碰到这个玩意时完全没有办法）所以我们需要用到SPFA

2.后md个不等式题目一开始给的是：xj-xi>=a 我们可以推出xi-xj<=-a（这在之后的建图处理中会用到）注意负权边。

3.题目所给的条件不一定是对的，所以我们需要跑两次SPFA判断图是不是联通的。（因为洛谷上有3个坑逼数据）

代码：

此为没有考虑条件不正确的情况的代码，70分（洛谷上），在联赛是应该是100分的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int N=1005;
const int M=40005;
int n,ml,md;
struct EDGE{
    int next,to,w;
}edge[M];
int head[N],tot;
void add(int x,int y,int v){
    edge[++tot].next=head[x];
    edge[tot].to=y;
    edge[tot].w=v;
    head[x]=tot;
}
queue<int> q;
int vis[N],dis[N],circle[N];//circle为指向tt的个数
void spfa(int s){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(circle,0,sizeof(circle));
    q.push(s);
    vis[s]=1,dis[s]=0;
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();
		q.pop();
		vis[now]=0;
        for(int i=head[now];i;i=edge[i].next){
            int tt=edge[i].to;
            if(dis[now]+edge[i].w<dis[tt]){
                dis[tt]=dis[now]+edge[i].w;
                circle[tt]=circle[now]+1;
                if(circle[tt]>=n){//指向tt的边超过n个自然是不满足条件的
                    puts("-1");exit(0);
                }
                if(!vis[tt]){
                    vis[tt]=1;
                    q.push(tt);
                }
            }
        }
    }

}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&ml,&md);
    for(int i=1;i<=ml;i++){
    	int a,b,d;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
        add(a,b,d);//a-b<=d
    }
    for(int i=1;i<=md;i++){
    	int a,b,d;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
        add(b,a,-d);//b-a>=d ==> a-b<=-d
    }
    spfa(1);
    if(dis[n]>1e8){puts("-2");return 0;}
    printf("%d",dis[n]);
    return 0;
}

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ml,md,a,b,c,fst[10100],nex[50010],v[50010],w[50010],cnt,vis[10100],dis[10100],tim[10100];
queue<int> q;
void add(int a,int b,int c)
{
    nex[++cnt]=fst[a];
    fst[a]=cnt;
    v[cnt]=b;
    w[cnt]=c;
    return ;
}
int spfa(int k)
{
    memset(dis,0x7f/3,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(tim,0,sizeof(tim));
    q.push(k);
    dis[k]=0;
    vis[k]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        //cout<<u<<" ";
        q.pop();
        tim[u]++;
        vis[u]=0;
        if(tim[u]>n)
        return -1;
        for(int i=fst[u];i!=-1;i=nex[i])
        {
            if(dis[v[i]]>dis[u]+w[i])
            {
                dis[v[i]]=dis[u]+w[i];
                if(!vis[v[i]])
                {
                    q.push(v[i]);
                    vis[v[i]]=1;
                }
            }
        }
    }
    /*cout<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<dis[i]<<" ";
    }*/
    if(dis[n]>1e8)
    return -2;
    return dis[n];
}
int main()
{
    memset(fst,-1,sizeof(fst));
    cin>>n>>ml>>md;
    for(int i=1;i<=ml;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
    }
    for(int i=1;i<=md;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(b,a,-c);
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        add(i+1,i,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        add(0,i,0);
    }
    int sp=spfa(0);
    if(sp<=-1)
    {
        cout<<sp;
        return 0;
    }
    else
    {
        cout<<spfa(1);
    }
    //cout<<" "<<sp;
    return 0;
}

　　

代码参考：https://www.luogu.org/blog/roy1994/solution-p4878  https://www.luogu.org/blog/mikasamikasa/solution-p4878