PGF 概率生成函数 Probability generating function
Probability Mass Function 离散随机变量的分布函数PMF
note 前半部分是Analytic Combinatorics by Philippe Flajolet, Robert Sedgewick的
III.2. Bivariate generating functions and probability distributions 这一节的笔记
note 2020-09-17 19:12 增加了《具体数学》里的PGF部分
随机结构举例 two classical combinatorial distributions
PGF Probability generating functions定义
\]
当然,能从BGF推到PGF
矩 Moments
The (power) moments are (r阶矩定义)
\]
The factorial moment defined for order r as (r order-阶乘矩定义)
\]
从BGFs 推到 Moments
例题
二项分布的r order-阶乘矩
\]
先算出OBGF
\]
算出对\(u\)的\(r\)阶偏导,再取\(u=1\)
\]
对\([z^n]\)反演得到【以\(n\)为变量,\(r\)为参数的某表达式】 (分子)
\]
\(W(z,1)\)对\([z^n]\)反演得到 (分母)
\]
分子分母代入这个公式,得到r order-阶乘矩
\]
接着没事可以算算期望,方差
期望(1 order-阶乘矩)
\]
用公式\(\mathbb{E}_{\mathcal{A}_{n}}\left(\chi^{2}\right)=\frac{\left.\left[z^{n}\right] \partial_{u}^{2} A(z, u)\right|_{u=1}}{\left[z^{n}\right] A(z, 1)}+\frac{\left.\left[z^{n}\right] \partial_{u} A(z, u)\right|_{u=1}}{\left[z^{n}\right] A(z, 1)}\)得到二次矩
\]
使用方差公式\(\mathbb{V}(X)=\mathbb{E}\left(X^{2}\right)-\mathbb{E}(X)^{2}\)得到方差
\]
附录
下面的内容来自《具体数学》中概率生成函数小节
为什么要使用概率生成函数?\(G(z)=\sum \Pr(X=k)z^k\)
一大长处是可以简化均值和方差的计算。(嗯这两个公式挺好证的,把右边展开成和式)
Var(X)=G''(1)+G'(1)-G'(1)^2\\
E[X^2]=G''(1)+G'(1)
\]
第二大长处是:在许多重要的情形,它们都是\(z\)的比较简单的函数
第三大长处是:概率生成函数的乘积对应于(相互独立的)随机变量之和
然后有意思的是引入了累积量,和多阶矩、r-order阶乘矩很是像,都是数字特征里更加“高次”的东西。
定义\(\kappa_i\)是累积量,由下面的公式给出。由此定义式可见看出,由于【对数变乘为加】以及【概率生成函数的乘积对应于随机变量之和】,所以:独立随机变量之和的所有累积量也可由原来的对应累积量相加得到。
\]
定义\(\alpha_m\)是阶乘矩\(\alpha_m=E[X(X-1) \cdots(X-m+1)]\)
定义\(\mu_m\)是\(m\)阶矩,\(\mu_m=E[X^m]\)
把PGF \(G(e^t)\)各种改写,比对系数,得到这三个“高次量”的相互转换
拿\(\kappa_i\)写\(G(e^t)\) (把累计量的定义式取指数)
\]
拿\(\mu_m\)写
G(e^t)=\sum\limits_{k\geq 0}\Pr(X=k)e^{kt}&=\sum\limits_{k,m\geq 0}\Pr(X=k)k^m\cdot\frac{t^m}{m!}\\
&=1+\frac{\mu_1}{1!}t+\frac{\mu_2}{2!}t^2+\frac{\mu_3}{3!}t^3+\dots
\end{aligned}
\]
拿\(\alpha_m\)写
因为
G(1+t)&=G(1)+\frac{G'(1)}{1!}t+\frac{G''(1)}{2!}t^2+\cdots\\
&=1+\frac{\alpha_1}{1!}t+\frac{\alpha_2}{2!}t^2+\cdots
\end{aligned}
\]
于是
G(e^t)&=1+\frac{\alpha_1}{1!}(e^t-1)+\frac{\alpha_2}{2!}(e^t-1)^2+\cdots\\
&=1+\frac{\alpha_1}{1!}(t+\frac{t^2}{2}+...)+\frac{\alpha_2}{2!}(t^2+t^3+...)+\cdots
\end{aligned}
\]
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