算法竞赛进阶指南 0x50 总论

目录

• • AcWing895. 最长上升子序列
    • 方法一
    • 方法二
    • 当询问最长子序列是哪些的时候
  • 896. 最长上升子序列 II
    • 思路
  • O(NlogN)做法：贪心+二分
    • 代码
  • AcWing\897. 最长公共子序列
    • 思路
    • 代码
  • AcWing898. 数字三角形
    • 思路
• 参考资料

AcWing895. 最长上升子序列

方法一

采用从前往后推的方法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1006
typedef long long ll;
ll a[N];
ll f[N];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", a+i);//注意：我存储的是ll，所以输入也应该是lld
    f[0] = 0;//注意：初始条件一定要给
    a[0] = INT_MIN;//注意：对于这种有对比的情况，是要更改一下原数组的第一个元素
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = i+1; j <= n; j++)
            if(a[j] > a[i])
            {
                f[j] = max(f[j], f[i]+1);
            }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)//注意：这里的最优解并不是从最后一个元素里面找，而是在1~N中找
    {
        ans = max(ans, f[i]);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

方法二

思考这一种状态可以由哪些推过来

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1006
typedef long long ll;
ll a[N];
ll f[N];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", a+i);
    f[0] = 0;//注意：初始条件一定要给
    a[0] = INT_MIN;//注意：对于这种有对比的情况，是要更改一下原数组的第一个元素
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 0; j < i; j ++)
        {
            if(a[j] < a[i])
            {
                f[i] = max(f[i], f[j]+1);
            }
        }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans = max(ans, f[i]);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

当询问最长子序列是哪些的时候

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1006
typedef long long ll;
ll a[N];
ll f[N];
ll path[N];
void Print(int i)
{
    if(i==0) return;
    Print(path[i]);
    cout << a[i] << ' ';
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", a+i);
    f[0] = 0;//注意：初始条件一定要给
    a[0] = INT_MIN;//注意：对于这种有对比的情况，是要更改一下原数组的第一个元素
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 0; j < i; j ++)
        {
            if(a[j] < a[i])
            {
                if(f[i] < f[j]+1)
                {
                    path[i] = j;//并不需要把之前的全部存起来，只需要知道从哪里转移过来就行了
                    f[i] = f[j]+1;
                }
            }
        }
    ll ans = 0;
    ll pos = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(f[i] > ans)
        {
            ans = f[i];
            pos = i;
        }
    }
    Print(pos);
    puts("");
    cout << ans;

    return 0;
}

896. 最长上升子序列 II

思路

这一道题目不能再使用动态规划来进行求解

必须采用更为快速的

O(NlogN)做法：贪心+二分

a[i]表示第i个数据。

dp[i]表示表示长度为i+1的LIS结尾元素的最小值。

利用贪心的思想，对于一个上升子序列，显然当前最后一个元素越小，越有利于添加新的元素，这样LIS长度自然更长。

因此，我们只需要维护dp数组，其表示的就是长度为i+1的LIS结尾元素的最小值，保证每一位都是最小值，

这样子dp数组的长度就是LIS的长度。

dp数组具体维护过程同样举例讲解更为清晰。

同样对于序列 a(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，dp的变化过程如下：

• dp[0] = a[0] = 1，长度为1的LIS结尾元素的最小值自然没得挑，就是第一个数。 （dp = {1}）
• 对于a[1]=7，a[1]>dp[0]，因此直接添加到dp尾，dp[1]=a[1]。（dp = {1, 7}）
• 对于a[2]=3，dp[0]< a[2]< dp[1]，因此a[2]替换dp[1]，令dp[1]=a[2]，因为长度为2的LIS，结尾元素自然是3好过于7，因为越小这样有利于后续添加新元素。 （dp = {1, 3}）
• 对于a[3]=5，a[3]>dp[1]，因此直接添加到dp尾，dp[2]=a[3]。 （dp = {1, 3, 5}）
• 对于a[4]=9，a[4]>dp[2]，因此同样直接添加到dp尾，dp[3]=a[9]。 （dp = {1, 3, 5, 9}）
• 对于a[5]=4，dp[1]< a[5]< dp[2]，因此a[5]替换值为5的dp[2]，因此长度为3的LIS，结尾元素为4会比5好，越小越好嘛。（dp = {1, 3, 4, 9}）
• 对于a[6]=8，dp[2]< a[6]< dp[3]，同理a[6]替换值为9的dp[3]，道理你懂。 （dp = {1, 3, 5, 8}）

这样子dp数组就维护完毕，所求LIS长度就是dp数组长度4。

通过上述求解，可以发现dp数组是单调递增的，因此对于每一个a[i]，先判断是否可以直接插入到dp数组尾部，

即比较其与dp数组的最大值即最后一位；如果不可以，则找出dp中第一个大于等于a[i]的位置，用a[i]替换之。

这个过程可以利用二分查找，因此查找时间复杂度为O(logN)，所以总的时间复杂度为O(N*logN)

转载自 紫芝 https://blog.csdn.net/qq_40507857/article/details/81198662 CSDN^[1]

这道题目恰恰使用到了贪心的思想。

dp数组里面存放了（当前当前位置之前，所有）长度为 i 的上升子序列的最小的末尾元素（只需要一个代表元，那就是结尾的元素）

依次从左向右进行扫描，对比 a[ i ] 和dp数组里面的值。

1. 如果a[i]的值大于dp数组的最后一个值，那么由于a[i]的加入，就会让最长子序列长度增加。
2. 如果a[i]的值小于等于dp数组的最后一个元素，找一个大于等于a[i]的第一个元素的下标p。
   
   p之前的数字全部比 a 小，a 可以替换p的位置，完全合法，并且让p的位置的数字更小，更可能出现较长的上升子序列。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100020
int a[N], dp[N];
int m = 0;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a+i);
    dp[1] = a[1];
    m = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(a[i] > dp[m])
        {
            dp[++m] = a[i];
            continue;
        }
        int p = lower_bound(dp+1, dp+1+m, a[i])-(dp+1)+1;
        dp[p] = a[i];
    }
    printf("%d", m);
    return 0;
}

竟然更加简单:)

AcWing\897. 最长公共子序列

思路

闫氏DP分析法

1. 状态：dp[i][j]代表在A序列里面以i结尾，在B中j结尾的序列。

   • 子结构：A中以i结尾，在B中j结尾的序列中所有的公共子序列。
   • 最优子结构：最长的公共子序列
   • 状态表示：使用一个整数，表示长度。

2. 转移：
   
   对于dp[i][j]一共有以下四种情况：

   • 包含a[i]，包含b[j]；
     
     注意有前提条件：a[i] == b[j]
     
     这时候状态表示是dp[i-1][j-1]+1

   • 包含a[i]，不包含b[j]；
     
     没有办法求得这种情况的等价情况。
     
     但是有一个集合可以满足要求：dp[i][j-1]这一个集合有两种情况

     1. 包含a[i]，不包含b[j]
     2. 不包含a[i]，不包含b[j]

     这是因为我的状态表示仅仅说明是a[1~i]和b[1~j]的最长的公共子序列，包不包含a[i]我并不知道。

   • 不包含a[i]，包含b[j]； 和上面一致！

   • 不包含a[i]，不包含b[j]。 显然是dp[i-1][j-1]

由于有重复情况，所以最终dp方式见代码

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1020
char a[N], b[N];
int dp[N][N];
int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    scanf("%s", a+1);
    scanf("%s", b+1);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            if(a[i] == b[j])
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+1, dp[i][j]);
        }
    }
    printf("%d", dp[n][m]);
    return 0;
}

AcWing898. 数字三角形

输入样例：

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出样例：

30

思路

这一道题目给定的三角不便于存储，要想办法改变一下。我们可以使用样例中的办法进行存储

这样，对应的规则就变成了向下或者向右下方走。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 506
int a[N][N];
int dp[N][N];
#define WAY2
//更换上面这一个定义，可以使用两种方法！
int main()
{

    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            dp[i][j] = -0x3f3f3f3f;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);

#ifdef WAY1
    dp[1][1] = a[1][1];
    for(int i = 1; i < n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
        {
            dp[i+1][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j]+a[i+1][j]);
            dp[i+1][j+1] = max(dp[i+1][j+1], dp[i][j]+a[i+1][j+1]);
        }
#endif

#ifdef WAY2
    dp[1][1] = a[1][1];
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
        {
            if(j > 1)dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + a[i][j]);//注意两个边界条件的判断
            if(j< i ) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j]+a[i][j]);
        }
#endif

    int ans = -0x3f3f3f3f;
    for(int i = 1; i<= n; i++)
    {
        ans = max(ans, dp[n][i]);
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

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参考资料

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1. 转载自 紫芝 https://blog.csdn.net/qq_40507857/article/details/81198662 CSDN ︎