无旋树堆(FHQ-Treap)学习笔记

简介

无旋树堆(一般统称 \(\text{FHQ-Treap}\))，是一种平衡树。可以用很少的代码达到很优秀的复杂度。

前置知识：

• 二叉搜索树 \(\text{BST}\)
• \(\text{Treap}\) 基本知识

普通平衡树

例题引入

P6136 【模板】普通平衡树（数据加强版）

您需要写一种数据结构，来维护一些整数，其中需要提供以下操作：

1. 插入一个整数 \(x\)。
2. 删除一个整数 \(x\)（若有多个相同的数，只删除一个）。
3. 查询整数 \(x\) 的排名（排名定义为比当前数小的数的个数 \(+1\)）。
4. 查询排名为 \(x\) 的数（如果不存在，则认为是排名小于 \(x\) 的最大数。保证 \(x\) 不会超过当前数据结构中数的总数）。
5. 求 \(x\) 的前驱（前驱定义为小于 \(x\)，且最大的数）。
6. 求 \(x\) 的后继（后继定义为大于 \(x\)，且最小的数）。

本题强制在线，保证所有操作合法（操作 \(2\) 保证存在至少一个 \(x\)，操作 \(4,5,6\) 保证存在答案）。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n\leq 10^5\)，\(1\leq m\leq 10^6\)，\(0\leq a_i,x\lt 2^{30}\)。

准备姿势

const int SIZE = 2e6+5; // 数组大小
int son[SIZE][2]; // 平衡树数组
int val[SIZE],rk[SIZE],siz[SIZE]; // val是权值,rk是随机权值,siz是子树大小
int root,points; // root是树根，points是点数(最后一个节点的编号)
mt19937 randomer(time(0)); // 随机生成器
#define ls(i) (son[(i)][0]) // 左子树
#define rs(i) (son[(i)][1]) // 右子树
void pushup(int i){ // 上推信息，这里是子树大小
	siz[i]=siz[ls(i)]+siz[rs(i)]+1;
}
int newnode(int v){ // 新建节点
	val[++points]=v; // 权值赋值
	rk[points]=randomer(); // 随机生成随机权值
	siz[points]=1; // 散点子树大小为1
	return points; // 返回节点编号
}

FHQ-Treap 基本操作——分裂(split)

这里的 \(\text{split}\) 是按大小分裂，按权值分裂将会在【文艺平衡树】中讲。

\(\operatorname{split}(p,v,l,r)\) 定义为，将根为 \(p\) 的树，分裂成两个子树 \(l,r\) 使得 \(l\) 的所有点权小于等于 \(v\)，\(r\) 中的所有点权大于 \(v\)。

实现也是非常的暴力，由于BST中，左子树小于根，右子树大于根，于是直接判断，如果 \(p\) 的全职 \(\le v\)，我们就往右子树递归看看有没有机会（左子树一定满足），否则就往左子树递归。

代码：

void split(int p,int v,int &left,int &right){
	if(!p){ // 节点不存在的情况
		left=right=0;
		return;
	}
	if(val[p]<=v){
		left=p;
		split(rs(p),v,rs(left),right);
	}
	else{
		right=p;
		split(ls(p),v,left,ls(right));
	}
	pushup(p);
}

由于最多一条链从根搜到叶子，所以时间复杂度是 \(O(\log n)\) 的。

FHQ-Treap 基本操作——合并(merge)

\(\operatorname{merge}(l,r)\) 指，将 \(l,r\) 两棵树合并，然后返回新的树的树根。

如果打过线段树合并，那么打这一部分的内容会感觉很亲切。

在 \(\text{Treap}\) 中，合并方向取决于随机权值，\(\text{FHQ-Treap}\) 也不例外。

如果 \(l\) 的权值大于 \(r\) 的，那么保留 \(l\) 的左子树，右子树改为 \(\operatorname{merge}(r,\operatorname{rightSon}(l))\)。

如果 \(r\) 的权值大于 \(l\) 的，那么保留 \(r\) 的左子树，右子树改为 \(\operatorname{merge}(l,\operatorname{rightSon}(r))\)。

代码：

int merge(int left,int right){
	if(!left||!right){ // 节点不存在的情况
		if(left)return left;
		else if(right)return right;
		else return 0;
	}
	if(rk[left]<rk[right]){
		ls(right)=merge(left,ls(right));
		pushup(right);
		return right;
	}
	else{
		rs(left)=merge(rs(left),right);
		pushup(left);
		return left;
	}
}

时间复杂度 \(O(\log n)\)。

FHQ-Treap 其他操作——insert

\(\operatorname{insert}(v)\)，在平衡树中插入一个数 \(v\)。

我们可以将平衡树分裂成两个部分 \(x,y\)，使得 \(x\lt v,y \ge v\)。然后合并回去。

代码：

void insert(int v){
	int left=0,right=0;
	split(root,v-1,left,right);
	root=merge(merge(left,newnode(v)),right);
}

FHQ-Treap 其他操作——remove

\(\operatorname{remove}(v)\)，在平衡树中删除元素 \(v\)，如果有多个，删除其中的任意一个。

将平衡树分裂成 \(x,y,z\)，使得 \(x\lt v,y=v,z\gt v\)，将 \(y\) 的根删掉，然后合并 \(x,y,z\)。

代码：

void remove(int v){
	int left=0,mid=0,right=0;
	split(root,v,left,right);
	split(left,v-1,left,mid);
	mid=merge(ls(mid),rs(mid));
	root=merge(merge(left,mid),right);
}

FHQ-Treap 的其他操作——rank

\(\operatorname{rank}(v)\)，查询 \(v\) 在平衡树中的排名。

先将平衡树分裂成 \(x,y\)，使得 \(x\lt v,y \ge v\)，然后查询 \(x\) 的子树大小，加 \(1\) 就是答案，最后记得合并回去。

代码：

int rnk(int v){
	int left=0,right=0,ret;
	split(root,v-1,left,right);
	ret=siz[left]+1;
	root=merge(left,right);
	return ret;
}

FHQ-Treap 的其他操作——kth,pre,nxt

由于本人弱，不想讲解。

代码：

int kth(int k){
	int now=root;
	while(1){
		if(k<=siz[ls(now)]){
			now=ls(now);
		}
		else if(k==siz[ls(now)]+1){
			return val[now];
		}
		else{
			k-=siz[ls(now)]+1;
			now=rs(now);
		}
	}
}

int pre(int v){
	int now=root,ret=0;
	while(1){
		if(!now){
			return ret;
		}
		else if(v<=val[now]){
			now=ls(now);
		}
		else{
			ret=val[now];
			now=rs(now);
		}
	}
}

int next(int v){
	int now=root,ret=0;
	while(1){
		if(!now){
			return ret;
		}
		else if(v>=val[now]){
			now=rs(now);
		}
		else{
			ret=val[now];
			now=ls(now);
		}
	}
}

例题代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

namespace FHQTreap{
	const int SIZE = 2e6+5;
	int son[SIZE][2];
	int val[SIZE],rk[SIZE],siz[SIZE],root,points;
	mt19937 randomer(time(0));

#define ls(i) (son[(i)][0])
#define rs(i) (son[(i)][1])

	void pushup(int i){
		siz[i]=siz[ls(i)]+siz[rs(i)]+1;
	}

	int newnode(int v){
		val[++points]=v;
		rk[points]=randomer();
		siz[points]=1;
		return points;
	}

	void split(int p,int v,int &left,int &right){
		if(!p){
			left=right=0;
			return;
		}
		if(val[p]<=v){
			left=p;
			split(rs(p),v,rs(left),right);
		}
		else{
			right=p;
			split(ls(p),v,left,ls(right));
		}
		pushup(p);
	}

	int merge(int left,int right){
		if(!left||!right){
			if(left)return left;
			else if(right)return right;
			else return 0;
		}
		if(rk[left]<rk[right]){
			ls(right)=merge(left,ls(right));
			pushup(right);
			return right;
		}
		else{
			rs(left)=merge(rs(left),right);
			pushup(left);
			return left;
		}
	}

	void insert(int v){
		int left=0,right=0;
		split(root,v-1,left,right);
		root=merge(merge(left,newnode(v)),right);
	}

	void remove(int v){
		int left=0,mid=0,right=0;
		split(root,v,left,right);
		split(left,v-1,left,mid);
		mid=merge(ls(mid),rs(mid));
		root=merge(merge(left,mid),right);
	}

	int kth(int k){
		int now=root;
		while(1){
			if(k<=siz[ls(now)]){
				now=ls(now);
			}
			else if(k==siz[ls(now)]+1){
				return val[now];
			}
			else{
				k-=siz[ls(now)]+1;
				now=rs(now);
			}
		}
	}

	int pre(int v){
		int now=root,ret=0;
		while(1){
			if(!now){
				return ret;
			}
			else if(v<=val[now]){
				now=ls(now);
			}
			else{
				ret=val[now];
				now=rs(now);
			}
		}
	}

	int next(int v){
		int now=root,ret=0;
		while(1){
			if(!now){
				return ret;
			}
			else if(v>=val[now]){
				now=rs(now);
			}
			else{
				ret=val[now];
				now=ls(now);
			}
		}
	}

	int rnk(int v){
		int left=0,right=0,ret;
		split(root,v-1,left,right);
		ret=siz[left]+1;
		root=merge(left,right);
		return ret;
	}

}

namespace solution{
	int n,m,lastans,ret;
	int solution(){
		lastans=0;
		ret=0;
		cin>>n>>m;
		for(int i=1,v;i<=n;i++){
			cin>>v;
			FHQTreap::insert(v);
		}
		while(m--){
			int op,v;
			cin>>op>>v;
			if(op==1){
				v^=lastans;
				FHQTreap::insert(v);
			}
			else if(op==2){
				v^=lastans;
				FHQTreap::remove(v);
			}
			else if(op==3){
				v^=lastans;
				lastans=FHQTreap::rnk(v);
				ret^=lastans;
			}
			else if(op==4){
				v^=lastans;
				lastans=FHQTreap::kth(v);
				ret^=lastans;
			}
			else if(op==5){
				v^=lastans;
				lastans=FHQTreap::pre(v);
				ret^=lastans;
			}
			else{
				v^=lastans;
				lastans=FHQTreap::next(v);
				ret^=lastans;
			}
		}
		cout<<ret;
		return 0;
	}
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	return solution::solution();
}

AC Record

普通平衡树例题

P2343 宝石管理系统

P2343 宝石管理系统

GY 君购买了一批宝石放进了仓库。有一天 GY 君心血来潮，想要清点他的宝石，于是把 \(m\) 个宝石都取出来放进了宝石管理系统。每个宝石 \(i\) 都有一个珍贵值 \(v_i\)，他希望你能编写程序查找到从大到小第 \(n\) 珍贵的宝石。但是现在问题来了，他非常不小心的留了一些宝石在仓库里面，有可能要往现有的系统中添加宝石。这些宝石的个数比较少。他表示非常抱歉，但是还是希望你的系统能起作用。

\(m\leq 100000\),\(q\leq 30000\)

这道题比较水，直接 \(\text{FHQ-Treap}\) 模拟。

时间复杂度 \(O(q\log m)\)

P2073 送花

见这里

P1503 鬼子进村

见这里

P3871 [TJOI2010]中位数

见这里