「SOL」NOI2017Day2 T1T2

就当我没做过这套题

而且 T3 也不会

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Day2 A. 游戏

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做过 2-sat 的读者应该能够一眼秒出这道题的正解 —— \(\mathcal O(2^d)\) 枚举 x 的取值，其余还没有唯一确定方案的点是一个 2-sat 问题，总复杂度 \(\mathcal O(2^dm)\)，边搜索边剪枝，常数很小。

但是为什么这道题可以出在 NOI 里呢？因为它的细节简直恶心。

大概说一下我对几个细节的处理方法：

• 若 \((i,h_i,j,h_j)\) 中 \(S_i=h_i\)，则该条件无效，在之后的搜索中保证不会访问 \(i=S_i\) 这种不合法的点。

• 若条件 \((i,h_i,j,h_j)\) 中 \(h_j=S_j\)，则说明 \(i\) 不能取 \(h_i\)；处理方法是建出限制关系的反图，从每个 \(ans_i=S_i\) 的状态往回找前驱状态，把这些状态都 ban 掉。

• 非 x 的点本身只有两种取值，因此对于条件 \((i,h_i,j,h_j)\)，若 \(S_i\neq \text x\)，则可以判断「当 \(j\) 不取 \(h_j\) 时，\(i\) 取除了 \(h_i,S_i\) 之外的值」。

• 在 tarjan 缩点的过程中在搜到一个已确定方案的点 \(v\) 时，经过上述处理，此时一定合法，可以跳过对 \(v\) 的搜索；因为当前状态一定是一个只有两种取值（非真即假）的状态，而在上述第三条中，若 \(v\) 的取值限制了当前点的值，则当前点必然已经固定取值。

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Day2 B. 蔬菜

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第一步非常关键的转化（也是我没想出正解的原因）：把一种蔬菜再拆成两种 —— 最后一个和其他。为什么是最后一个而不是第一个？因为最后一个的保质期最长，最容易放下来。

为了方便理解可以把「其他」再按保质期不同拆成若干种，但是实现代码时显然不会这么实现，存不下。

于是现在的问题就是「有若干类物品，物品 \(i\) 有 \(C_i\) 个，单位价值为 \(V_i\)，只能放在前 \(T_i\) 个篮子里；每个篮子只能装 \(m\) 个物品，最大化放入篮子的物品总价值」。这个贪心比较简单，先放单位价值大的物品，能放则放，不能放则跳过。反证即可说明。

判断能不能放，可以用并查集维护在某个篮子之前最靠后的未满篮子。

每次做一遍贪心复杂度 \(\mathcal O(kpm)\) 或者 \(\mathcal O(kpm\log p)\)。

考虑增加一个篮子，放入的物品会如何变化。结论是在原来已放入物品的基础上再添加。本来可以直接拿拟阵证明，但是我不会，还是用常规的反证方法：假设原本最优解放入了物品 \(x\)，但在新最优解中不可能有物品 \(x\)，说明篮子 \(1\sim T_x\) 中 的所有物品的单位价值都大于 \(x\)，与 \(x\) 在原本最优解中矛盾。

所以说，每次询问 \(p_i\) 其实只是限制了最优解的物品总数不超过 \(mp_i\)。可以贪心处理出最优解中有 \(i\) 个（\(1\le i\le m\cdot\max\{p\}\)）物品的最优解，直接输出即可。

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源代码

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/*Lucky_Glass*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define con(typ) const typ &
const int N = 5e4 + 10, M = 1e5 + 10;

inline int rin(int &r) {
  int b = 1, c = getchar(); r = 0;
  while ( c < '0' || '9' < c ) b = c == '-' ? -1 : b, c = getchar();
  while ( '0' <= c && c <= '9' ) r = r * 10 + (c ^ '0'), c = getchar();
  return r *= b;
}
inline char rch(char &r) {
  char str[20] = {};
  scanf("%s", str);
  return r = str[0];
}

int n, m, nd, nrol;
char str[N];
int xpos[10], typ[N], mex[5][5], col[N], rol[N];

template<const int P, const int E> struct Graph {
  int head[P], to[E], nxt[E], ncnt;
  void addEdge(con(int) u, con(int) v) {
    int p = ++ncnt;
    to[p] = v, nxt[p] = head[u];
    head[u] = p;
  }
  inline int operator [] (con(int) u) {return head[u];}
};

Graph<N * 3, M * 3> gr, rg;
Graph<N * 3, N * 3> bel;

int nscc, ndfn, nstk;
int dfn[N * 3], low[N * 3], scc[N * 3], stk[N * 3];
bool bok[N * 3], ban[N * 3];

void init() {
  mex[0][0] = 1, mex[0][1] = 2, mex[0][2] = 1;
  mex[1][0] = 2, mex[1][1] = 0, mex[1][2] = 0;
  mex[2][0] = 1, mex[2][1] = 0, mex[2][2] = 0;
}
bool dfs(con(int) u) {
  int iu = u / 3, cu = u % 3;
  if ( cu == typ[iu] ) return false;
  if ( ~col[iu] ) return cu == col[iu];
  col[iu] = cu, rol[++nrol] = iu;
  for (int it = gr[u]; it; it = gr.nxt[it]) {
    int v = gr.to[it];
    if ( !dfs(v) )
      return false;
  }
  return true;
}
void tarjan(con(int) u) {
  if ( ~col[u / 3] ) return;
  dfn[u] = low[u] = ++ndfn;
  stk[++nstk] = u, bok[u] = true;
  for (int it = gr[u]; it; it = gr.nxt[it]) {
    int v = gr.to[it];
    if ( ~col[v / 3] ) continue;
    if ( !dfn[v] ) tarjan(v), low[u] = std::min(low[u], low[v]);
    else if ( bok[v] ) low[u] = std::min(low[u], dfn[v]);
  }
  if ( low[u] == dfn[u] ) {
    int tmp = -1; bel.head[++nscc] = 0;
    do {
      tmp = stk[nstk--];
      bok[tmp] = false;
      scc[tmp] = nscc;
      bel.addEdge(nscc, tmp);
    } while ( tmp != u );
  }
}
void fixXPos(con(int) d) {
  if ( d > nd ) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if ( col[i] == -1 )
      for (int c = 0; c < 3; ++c)
        dfn[i * 3 + c] = 0;
    ndfn = nscc = bel.ncnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if ( col[i] == -1 ) {
      int p = -1, q = -1;
      for (int c = 0; c < 3; ++c) if ( !ban[i * 3 + c] ) {
        if ( !dfn[i * 3 + c] ) tarjan(i * 3 + c);
        if ( ~p ) q = c;
        else p = c;
      }
      if ( scc[i * 3 + p] == scc[i * 3 + q] )
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= nscc; ++i) {
      bool tag = true;
      for (int it = bel[i]; it; it = bel.nxt[it])
        if ( ~col[bel.to[it] / 3] ) {
          tag = false;
          break;
        }
      if ( !tag ) continue;
      for (int it = bel[i]; it; it = bel.nxt[it])
        col[bel.to[it] / 3] = bel.to[it] % 3;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
      putchar('A' + col[i]);
    putchar('\n');
    exit(0);
  }
  int u = xpos[d];
  if ( ~col[u] ) {
    fixXPos(d + 1);
    return;
  }
  for (int c = 0; c < 3; ++c) {
    int mrol = nrol;
    if ( dfs(u * 3 + c) ) fixXPos(d + 1);
    while ( nrol > mrol ) col[rol[nrol--]] = -1;
  }
}
void doBan(con(int) u) {
  ban[u] = true;
  for (int it = rg[u]; it; it = rg.nxt[it] )
    if ( !ban[rg.to[it]] )
      doBan(rg.to[it]);
}
int main() {
  // freopen("input.in", "r", stdin);
  init();
  rin(n), rin(nd);
  scanf("%s", str + 1);
  for (int i = 1, tmp = 0; i <= n; ++i)
    if ( str[i] == 'x' )
      xpos[++tmp] = i, typ[i] = -1;
    else
      typ[i] = str[i] - 'a';
  rin(m);
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    char tmp;
    int u = rin(u), ut = rch(tmp) - 'A', v = rin(v), vt = rch(tmp) - 'A';
    if ( ut == typ[u] ) continue;
    gr.addEdge(u * 3 + ut, v * 3 + vt);
    rg.addEdge(v * 3 + vt, u * 3 + ut);
    if ( ~typ[u] )
      for (int j = 0; j < 3; ++j)
        if ( j != vt ) {
          gr.addEdge(v * 3 + j, u * 3 + mex[typ[u]][ut]);
          rg.addEdge(u * 3 + mex[typ[u]][ut], v * 3 + j);
        }
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i)
    if ( ~typ[i] )
      doBan(i * 3 + typ[i]);
  for (int i = 1; i <= n; ++i)
    if ( ban[i * 3] && ban[i * 3 + 1] && ban[i * 3 + 2] ) {
      printf("-1\n");
      return 0;
    }
  memset(col, -1, sizeof col);
  fixXPos(1);
  printf("-1\n");
  return 0;
}

点击展开/折叠 vegetables.cpp

/*Lucky_Glass*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define con(typ) const typ &
typedef long long llong;
const int N = 1e5 + 10;

inline int rin(int &r) {
  int b = 1, c = getchar(); r = 0;
  while ( c < '0' || '9' < c ) b = c == '-' ? -1 : b, c = getchar();
  while ( '0' <= c && c <= '9' ) r = r * 10 + (c ^ '0'), c = getchar();
  return r *= b;
}

struct Item {
  int val, cnt, bad;
  Item() {}
  Item(con(int) _val, con(int) _cnt, con(int) _bad)
  : val(_val), cnt(_cnt), bad(_bad) {}
  static bool cmpToVal(con(Item) p, con(Item) q) {
    return p.val > q.val;
  }
} itm[N << 1];

struct Dsu {
  int fa[N];
  int fFind(con(int) u) {return fa[u] == u ? u : fa[u] = fFind(fa[u]);}
  bool mMerge(int u, int v) {
    u = fFind(u), v = fFind(v);
    if ( u == v ) return false;
    fa[u] = v;
    return true;
  }
  void init(con(int) siz) {
    for (int i = 1; i <= siz; ++i)
      fa[i] = i;
  }
} dsu;

int n, m, nq, nitm;
int ocnt[N];
llong ans[N * 10];

int main() {
  rin(n), rin(m), rin(nq);
  const int ED = N - 3;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    int per, ext, cnt, bad;
    rin(per), rin(ext), rin(cnt), rin(bad);
    int due = bad ? (cnt + bad - 1) / bad : ED;
    itm[++nitm] = Item(per + ext, 1, -due);
    if ( cnt > 1 ) itm[++nitm] = Item(per, cnt - 1, bad);
  }
  std::sort(itm + 1, itm + 1 + nitm, Item::cmpToVal);
  dsu.init(ED);
  int ncnt = 0;
  for (int i = 1; i <= nitm; ++i)
    if ( itm[i].bad >= 0 ) {
      while ( itm[i].cnt ) {
        int due = itm[i].bad ? (itm[i].cnt + itm[i].bad - 1) / itm[i].bad : ED;
        int k = dsu.fFind(due);
        if ( !k ) break;
        ++ocnt[k];
        if ( ocnt[k] == m ) dsu.mMerge(k, k - 1);
        ans[ncnt + 1] = ans[ncnt] + itm[i].val;
        ++ncnt;
        --itm[i].cnt;
      }
    } else {
      int k = dsu.fFind(-itm[i].bad);
      if ( k ) {
        ++ocnt[k];
        if ( ocnt[k] == m ) dsu.mMerge(k, k - 1);
        ans[ncnt + 1] = ans[ncnt] + itm[i].val;
        ++ncnt;
      }
    }
  while ( nq-- ) {
    int day; rin(day);
    printf("%lld\n", ans[std::min(day * m, ncnt)]);
  }
  return 0;
}

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THE END

Thanks for reading!

我也曾 隐约想过 从这世界逃离

因为人总被缚于不明所以的意义

生日飘落杏花雨 虫鸣淹没住叹息

尽数凝固成往昔连存在都无从证明

——《我也曾想过一了百了(中文填词)》 By 洛天依

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