Sumdiv POJ - 1845 （逆元/分治）

Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901).

Input

The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.OutputThe only line of the output will contain S modulo 9901.

Sample Input

2 3

Sample Output

15

Hint 2^3 = 8.
The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15.

15 modulo 9901 is 15 (that should be output).

题意：求A^B的所有约数的和  % MOD （9901）    题意中有点问题，我们知道0是没有约数的，我觉得A、B应该都是>0的

思路：我们可以把A分解质因数（p₁^c1  *  p₂^c2  *  .... * p_n^cn）^B

约数和：（1 + p₁ + p₁² + ... + p₁^B*c1）* （1 + p₂ + p₂² + ... + p₂^B*c2）* .... * （1 + p_n + p_n² + ... + p_n^B*cn）    （ 排列组合问题）

这样我们可以看出这是多个等比数列乘积，可以用等比数列求和公式  （a₁ *（1-qⁿ））/（1-q）,我们注意到这里有除法，但是同余模定理是对于加减乘的，那么我们可以利用费马小定理，

求出（1-q）的逆元，然后把除变成乘逆元

坑点：应为 9901 这个质数较小，很容易找到一个数x，（x-1）% MOD == 0 ,就说明这个数是没有逆元的（例217823），那么对于这种情况，我们不能用逆元算，你会发现这种情况下，

pⁿ % MOD == 1  （（p-1）% MOD == 0）），这样（1 + p_n + p_n² + ... + p_n^B*cn） == （1 % MOD + p_n %MOD + p_n² %MOD + ... + p_n^B*cn %MOD） == B*cn+1

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<math.h>
 using namespace std;

 const int maxn = 1e4;
 const int mod = ;
 int a,b;
 int p[maxn];
 int c[maxn];
 int calc(int x)
 {
     int m= ;
     int up = sqrt(x);
     for(int i=;i<=up;i++)
     {
         if(x % i == )p[++m] = i,c[m] = ;
         while(x % i == )x/= i,c[m]++;
     }
     if(x > )p[++m] = x,c[m] = ;
     return m;
 }

 typedef long long ll;

 ll qpow(ll a,ll b)
 {
     ll ans = ;
     ll base = a;
     while(b)
     {
         if(b&)ans = (ans * base)%mod;
         base = (base * base)%mod;
         b >>= ;
     }
     return ans;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&a,&b);
     int n = calc(a);
     ll ans = ;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if((-p[i])%mod == )
         {
             ans = (ans * (b * c[i]+ ))%mod;
             continue;
         }
         ll Ni = qpow(-p[i],mod-);
         ll tmp = -qpow(p[i],c[i]*b+);
         ans = (ans * (tmp*Ni%mod+mod)%mod)%mod;
     }
     printf("%lld\n",ans);
 }

还有一种写法，就是不用公式计算等比数列和，这样就避免了逆元的问题

sum（p，c） = （1 + p + p² + ... + p^k）

（1）c为奇数，sum（p，k）= sum（p，（k-1 ）/2）*（1+p^（k+1）/2）

sum（p，c） = （1 + p + p² + ... + p^（k-1）/2）+ （p^（k+1）/2 + ... + p^k）           （c为奇数，加上0次幂，变成偶数，刚好可以分成两个等长的数列）

（2）c为偶数，sum（p，k）= sum（p，k/2-1）*（1+p^k/2）+ p^k 

sum（p，c） = （1 + p + p² + ... + p^k/2-1）+ （p^k/2 + ... + p^k-1）+ p^k                         （c+1是奇数）

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<math.h>
 using namespace std;

 const int maxn = 1e4;
 const int mod = ;
 int a,b;
 int p[maxn];
 int c[maxn];
 int calc(int x)
 {
     int m= ;
     for(int i=;i*i<=x;i++)
     {
         if(x % i == )p[++m] = i,c[m] = ;
         while(x % i == )x/= i,c[m]++;
     }
     if(x > )p[++m] = x,c[m] = ;
     return m;
 }

 typedef long long ll;
 ll qpow(ll a,ll b)
 {
     ll ans = ;
     ll base = a;
     while(b)
     {
         if(b&)ans = (ans * base)%mod;
         base = (base * base)%mod;
         b >>= ;
     }
     return ans;
 }
 ll sum(ll p,ll c)
 {
     if(c == )return ;
     if(c&)return ((+qpow(p,(c+)/))%mod*(sum(p,(c-)/)%mod))%mod;
     else return ((+qpow(p,c/))%mod*(sum(p,c/-))%mod+qpow(p,c))%mod;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&a,&b);
     int n = calc(a);
     ll ans = ;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         ans = (ans * sum(p[i],c[i]*b))%mod;
     }
     printf("%lld\n",ans);
 }