The Integers and the Real Numbers
以上我們談了一些 邏輯的基礎,接下來我們會談一些 數學的基礎,也就是整數與實數系統。其實我們已經用了很多,非正式地,接下來我們會正式地討論他們。
要 建構 實數系統的一個方法就是利用公理跟集合論來建構。
首先我們需要從集合論出發,定義在 set $A$ 上的 二元運算子(binary operator):
Def.
$$
f: A times A rightarrow A
$$
我們在描述一個二元運算子的時候並不會如同以往的函數一樣, $f(a, a’)$,而是會把運算子寫在中間, $afa’$。一般來說,我們會用符號來表示,而不是字母,像是加號 $+$、乘號 $cdot$。
假設
我們假設存在一個 set $mathbb{R}$,代表實數,有兩個運算子分別是加法運算子 $+$、乘法運算子 $cdot$,以及一個次序關係 $lt$ 定義於 $mathbb{R}$ 上,會有以下特性:
代數特性(Algebraic Properties)
- $(x + y) + z = x + (y + z), forall x, y, z in mathbb{R}$
$(x cdot y) cdot z = x cdot (y cdot z), forall x, y, z in mathbb{R}$
- $x + y = y + x, forall x, y, z in mathbb{R}$
$x cdot y = y cdot x, forall x, y, z in mathbb{R}$
- $exists! 0 in mathbb{R}, forall x in mathbb{R}, s.t. enspace x + 0 = x$
$exists! 1 in mathbb{R}, forall x in mathbb{R}, s.t. enspace x cdot 1 = x$
- $for enspace each enspace x, exists! y, s.t. enspace x + y = 0$
$for enspace each enspace x, exists! y, s.t. enspace x cdot y = 1$
- $x cdot (y + z) = (x cdot y) + (x cdot z), forall x, y, z in mathbb{R}$
混合代數與次序特性(A Mixed Algebraic and Order Property)
- $If enspace x gt y, then enspace x + z gt y + z$
$If enspace x gt y, z gt 0, then enspace x cdot z gt y cdot z$
次序特性(Order Properties)
- 次序關係 $lt$ 有最小上界性
- $If enspace x lt y, then enspace exists z enspace s.t. enspace x lt z, z lt y$
由 1~5 點我們可以導出一些代數性質,像是負數、減法運算、倒數跟商的概念。我們可以定義正數($x gt 0$)跟負數($x lt 0$)。在代數領域,擁有 1~5 點特性的代數結構,我們會稱為域(field)。如果有包含第六點就稱為有序域(ordered field)。在拓樸領域我們通常會討論的是第7、8點,他只牽涉到次序關係,同時擁有這兩點的集合稱為線性連續統(li 大专栏 The Integers and the Real Numbersnear continuum)。
說到這邊我們還沒提到整數呢!我們就用前6點來定義整數(integer)。
Def.
$A subseteq mathbb{R} enspace is enspace inductive:$
- $1 in A$
- $forall x in A enspace s.t. enspace x + 1 in A$
Def.
$mathcal{A} enspace is enspace a enspace collection enspace of enspace all enspace inductive enspace subsets enspace of enspace mathbb{R}$
$positive enspace integers enspace is enspace a enspace set enspace mathbb{N} = bigcap_{A in mathcal{A}} A$
這樣的定義是很巧妙的,他其實只有明確的定義了1是在這個集合裡,後面都以 $x+ 1$ 的形式去推演,這稱為可歸納。而正整數是眾多可歸納集合的交集,可見正整數是最小的子集。
正整數有些特性:
- 正整數是可歸納的(inductive)
- (Principle of inductive)如果 set $A$ 是可歸納的,而且含正整數的集合,那麼 $A = mathbb{N}$
與實數不同的是,他不會有第八點特性,也就是,$for enspace each enspace n in mathbb{N}, nexists a in mathbb{N} enspace s.t. enspace n lt a lt n + 1$。
如果有個正整數 $n$,我們用 $S_{n}$ 來代表所有小於 $n$ 的正整數的集合,我們稱他為 section:
$$
S_{n + 1} = {1, dots , n}
$$
接下來我們會描述 證明 兩個可能不是很熟悉但很有用的特性,你可以看成是另一個版本的數學歸納法:
Theorem: Well-ordering property
$$
S subseteq mathbb{N}, S neq emptyset, S enspace has enspace smallest enspace element.
$$
他描述了 $mathbb{N}$ 的非空子集,一定有最小元素。
Theorem: Strong induction principle
$$
A enspace is enspace a enspace set enspace of enspace positive enspace integers,
$$
$$
for enspace each enspace n, S_n subseteq A enspace s.t. enspace n in A, then enspace A = mathbb{N}
$$
這邊描述了,對每個 $n$ 來說,由 $S_n subseteq A$ 可以推出 $n in A$ 的話,那麼 $A$ 就是 $mathbb{N}$。
以上我們用了有序域中的第 1~6 點公理,那第 7 點呢?
你用會用到第 7 點(最小上界公理)來證明,正整數集合 $mathbb{N}$ 在實數的集合 $mathbb{R}$ 中是沒有上界的。
Theorom: Archimedean ordering property
$$
the enspace set enspace mathbb{N} enspace has enspace no enspace upper enspace bound enspace in enspace mathbb{R}.
$$
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