问题

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。

问总共有多少条不同的路径?

例如,上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径?

说明:m 和 n 的值均不超过 100。

输入: m = 3, n = 2

输出: 3

解释:

从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。

  1. 向右 -> 向右 -> 向下
  2. 向右 -> 向下 -> 向右
  3. 向下 -> 向右 -> 向右

输入: m = 7, n = 3

输出: 28


A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish’ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 7 x 3 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

Input: m = 3, n = 2

Output: 3

Explanation:

From the top-left corner,there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:

  1. Right -> Right -> Down
  2. Right -> Down -> Right
  3. Down -> Right -> Right

Input: m = 7, n = 3

Output: 28

示例

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  1. public class Program {
  2. public static void Main(string[] args) {
  3. var m = 7;
  4. var n = 3;
  5. var res = UniquePaths(m, n);
  6. Console.WriteLine(res);
  7. Console.ReadKey();
  8. }
  9. private static int UniquePaths(int m, int n) {
  10. if(m == 0 || n == 0) return 0;
  11. var dp = new int[m, n];
  12. for(var i = 0; i < m; i++) {
  13. for(var j = 0; j < n; j++) {
  14. dp[i, j] = 1;
  15. }
  16. }
  17. for(var i = 1; i < m; i++) {
  18. for(var j = 1; j < n; j++) {
  19. dp[i, j] = dp[i, j - 1] + dp[i - 1, j];
  20. }
  21. }
  22. return dp[m - 1, n - 1];
  23. }
  24. }

以上给出1种算法实现,以下是这个案例的输出结果:

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  1. 28

分析

显而易见, 以上算法的时间复杂度为:O(m∗n)O(m*n)O(m∗n) 。

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