【啊哈！算法】算法7：Dijkstra最短路算法

上周我们介绍了神奇的只有五行的Floyd最短路算法，它可以方便的求得任意两点的最短路径，这称为“多源最短路”。本周来来介绍指定一个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。

<ignore_js_op> 

        与Floyd-Warshall算法一样这里仍然使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如下。

<ignore_js_op> 

        我们还需要用一个一维数组dis来存储1号顶点到其余各个顶点的初始路程，如下。

<ignore_js_op> 

        我们将此时dis数组中的值称为最短路的“估计值”。

        既然是求1号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。通过数组dis可知当前离1号顶点最近是2号顶点。当选择了2号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即1号顶点到2号顶点的最短路程就是当前dis[2]值。为什么呢？你想啊，目前离1号顶点最近的是2号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得1号顶点到2号顶点的路程进一步缩短了。因为1号顶点到其它顶点的路程肯定没有1号到2号顶点短，对吧O(∩_∩)O~

        既然选了2号顶点，接下来再来看2号顶点有哪些出边呢。有2->3和2->4这两条边。先讨论通过2->3这条边能否让1号顶点到3号顶点的路程变短。也就是说现在来比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1号顶点到3号顶点的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1号顶点到2号顶点的路程，e[2][3]表示2->3这条边。所以dis[2]+e[2][3]就表示从1号顶点先到2号顶点，再通过2->3这条边，到达3号顶点的路程。

        我们发现dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新为10。这个过程有个专业术语叫做“松弛”。即1号顶点到3号顶点的路程即dis[3]，通过2->3这条边松弛成功。这便是Dijkstra算法的主要思想：通过“边”来松弛1号顶点到其余各个顶点的路程。

        同理通过2->4（e[2][4]），可以将dis[4]的值从∞松弛为4（dis[4]初始为∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此dis[4]要更新为4）。

        刚才我们对2号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后dis数组为：

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        接下来，继续在剩下的3、4、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点。通过上面更新过dis数组，当前离1号顶点最近是4号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对4号顶点的所有出边（4->3，4->5和4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

<ignore_js_op> 

        继续在剩下的3、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择3号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对3号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

<ignore_js_op> 

        继续在剩下的5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择5号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

<ignore_js_op> 

        最后对6号顶点所有点出边进行松弛。因为这个例子中6号顶点没有出边，因此不用处理。到此，dis数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。

        最终dis数组如下，这便是1号顶点到其余各个顶点的最短路径。

<ignore_js_op> 

        OK，现在来总结一下刚才的算法。算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是1号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。基本步骤如下：

• 将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book[ i ]数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[ i ]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[ i ]为0则表示这个顶点在集合Q中。
• 设置源点s到自己的最短路径为0即dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点i，则把dis[ i ]设为e[s ][ i ]。同时把所有其它（源点不能直接到达的）顶点的最短路径为设为∞。
• 在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u ]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u ]+e[u ][v ]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v ]中的值。
• 重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

        完整的Dijkstra算法代码如下：

1. #include <stdio.h>
2. int main()
3. {
4. int e[10][10],dis[10],book[10],i,j,n,m,t1,t2,t3,u,v,min;
5. int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值
6. //读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数
7. scanf("%d %d",&n,&m);
8. //初始化
9. for(i=1;i<=n;i++)
10. for(j=1;j<=n;j++)
11. if(i==j) e[i][j]=0;
12. else e[i][j]=inf;
13. //读入边
14. for(i=1;i<=m;i++)
15. {
16. scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
17. e[t1][t2]=t3;
18. }
19. //初始化dis数组，这里是1号顶点到其余各个顶点的初始路程
20. for(i=1;i<=n;i++)
21. dis[i]=e[1][i];
22. //book数组初始化
23. for(i=1;i<=n;i++)
24. book[i]=0;
25. book[1]=1;
26. //Dijkstra算法核心语句
27. for(i=1;i<=n-1;i++)
28. {
29. //找到离1号顶点最近的顶点
30. min=inf;
31. for(j=1;j<=n;j++)
32. {
33. if(book[j]==0 && dis[j]<min)
34. {
35. min=dis[j];
36. u=j;
37. }
38. }
39. book[u]=1;
40. for(v=1;v<=n;v++)
41. {
42. if(e[u][v]<inf)
43. {
44. if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
45. dis[v]=dis[u]+e[u][v];
46. }
47. }
48. }
49. //输出最终的结果
50. for(i=1;i<=n;i++)
51. printf("%d ",dis[i]);
52. getchar();
53. getchar();
54. return 0;
55. }

复制代码

        可以输入以下数据进行验证。第一行两个整数n  m。n表示顶点个数（顶点编号为1~n），m表示边的条数。接下来m行表示，每行有3个数x y z。表示顶点x到顶点y边的权值为z。

1. 6 9
2. 1 2 1
3. 1 3 12
4. 2 3 9
5. 2 4 3
6. 3 5 5
7. 4 3 4
8. 4 5 13
9. 4 6 15
10. 5 6 4

复制代码

        运行结果是

1. 0 1 8 4 13 17

复制代码

通过上面的代码我们可以看出，这个算法的时间复杂度是O(N*2*N)即O(N²)。其中每次找到离1号顶点最近的顶点的时间复杂度是O(N)，这里我们可以用“堆”（以后再说）来优化，使得这一部分的时间复杂度降低到O(logN)。另外对于边数M少于N²的稀疏图来说（我们把M远小于N²的图称为稀疏图，而M相对较大的图称为稠密图），我们可以用邻接表（这是个神马东西？不要着急，待会再仔细讲解）来代替邻接矩阵，使得整个时间复杂度优化到O(MlogN)。请注意！在最坏的情况下M就是N²，这样的话MlogN要比N²还要大。但是大多数情况下并不会有那么多边，因此MlogN要比N²小很多。