求N!末尾的0的个数（找规律+递归）

0\'s

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题目描写叙述

计算整数n！(n的阶乘)末尾有多少个0。

输入

第一行输入一个数T代表測试数据个数（T<=20）。接下来T行每行1个数代表n(0<=n< 2^31)。

输出

对于每一个測试数据输n!末尾有多少个0，每行输出一个结果。

演示样例输入

3
1
5
10

演示样例输出

0
1
2

提示

  中国海洋大学第三届“朗讯杯”编程比赛高级组试题

 声明（摘抄至某前辈）---------------------

 

这里先给出其计算公式，后面给出推导过程。

    令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数，则有：

      当0 < n < 5时，f(n!) = 0;

      当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 当中 k = n / 5（取整）。



问题分析

    显然，对于阶乘这个大数，我们不可能将其结果计算出来，再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。以下我们从因式分解的角度切入分析。



    我们先考虑一般的情形。对于随意一个正整数，若对其进行因式分解，那么其末尾的“0”必能够分解为2*5。在这里，每个“0”必定和一个因子“5”相相应。但请注意，一个数的因式分解中因子“5”不一定相应着一个“0”，由于还须要一个因子“2”，才干实现其一一相应。



    我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论：

    结论1： 对于n的阶乘n！，其因式分解中，假设存在一个因子“5”，那么它必定相应着n！末尾的一个“0”。

    以下对这个结论进行证明：

    (1)当n < 5时, 结论显然成立。

    (2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，当中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数。

    对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每个数5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，而且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数，也就是说，a中存在一个因子“2”与5i相相应。即，这里的k个因子“5”与n！末尾的k个“0”一一相应。

   我们进一步把n！表示为：n！= 5^k * k! * a（公式1），当中5^k表示5的k次方。非常easy利用(1)和迭代法，得出结论1。

   

    上面证明了n的阶乘n！末尾的“0”与n！的因式分解中的因子“5”是一一相应的。也就是说，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，能够转换为计算其因式分解中“5”的个数。



    令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则利用上面的的结论1和公式1有：

       f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)

所以，终于的计算公式为：

    当0 < n < 5时，f(n!) = 0;

    当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 当中 k = n / 5（取整）。



计算举例

   f(5!) = 1 + f(1!) = 1

   f(10!) = 2 + f(2!) = 2

   f(20!) = 4 + f(4!) = 4

   f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24

   f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249

 

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <cstdio>
#include <cctype>
using  namespace std;
int cal(int n)
{
	if(n<5) return 0;
	else
	{
		n/=5;
		return n+cal(n);
	}
}
int main()
{
 int n,T;
 cin>>T;
 while(T--)
 {
 	cin>>n;
	cout<<cal(n)<<endl;
 }
  return 0;
}