poj2409:Let it Bead(置换群 polya定理)
题目大意:长度为n的项链,要染m种颜色,可以通过旋转或翻转到达的状态视为同一种,问有多少种染色方案。
学了一波polya定理,发现很好理解啊,其实就是burnside定理的扩展。
burnside定理告诉我们不同染色方案数是每种置换的不变元素个数除以置换总数,而polya定理就是在这个基础上用公式计算出置换的不变元素个数。而且polya定理非常好理解,我们要让元素不变,所以对于每个循环节我们要染一样的颜色,有m种颜色,c(pk)个循环节,于是每种置换的不变元素个数就是m^c(pk)。
对于这道题,有两种操作。
①旋转。有n种置换,分别是1次旋转1个珠子,2个,3个...n个。对于1次旋转i个珠子,我们要求出循环节数可以先求出循环长度,一个位置置换x次之后回到原位,所以x=n*y/i,要使x尽量小且为整数那么n*y只能是lcm(n,i),于是循环长度为lcm(n,i)/i,那么循环节数为总长除以循环长度,n/(lcm(n,i)/i)=gcd(n,i)【n*i/gcd(n,i)=lcm(n,i)】。所以1次旋转i个珠子的循环节数为gcd(n,i)。
②翻转。对于奇偶性分类讨论。
(1)n为奇数。对于每个点作为对称轴左右翻转,则共n个置换,循环节数(n+1)/2。
(2)n为偶数。
a.对于对称的两个点作为对称轴左右翻转。n/2个置换,循环节数(n+2)/2。
b.对于两个点中间的空格作为对称轴左右反转,n/2个置换,循环节数n/2。
则共n个置换。
所以不论奇偶总置换数为2n,答案为sum/2n。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m;
int qp(int a,int b)
{
int t=,y=a;
while(b)
{
if(b&)t*=y;
y*=y;
b>>=;
}
return t;
}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int main()
{
while(~scanf("%d%d",&m,&n)&&(m||n))
{
int sum=;
for(int i=;i<=n;i++)sum+=qp(m,gcd(n,i));
if(n&)for(int i=;i<=n;i++)sum+=qp(m,(n+)/);
else for(int i=;i<=n/;i++)sum+=qp(m,(n+)/)+qp(m,n/);
printf("%d\n",sum/(*n));
}
}
poj2409:Let it Bead(置换群 polya定理)的更多相关文章
- POJ 2409 Let it Bead:置换群 Polya定理
题目链接:http://poj.org/problem?id=2409 题意: 有一串n个珠子穿起来的项链,你有k种颜色来给每一个珠子染色. 问你染色后有多少种不同的项链. 注:“不同”的概念是指无论 ...
- poj 1286 Necklace of Beads & poj 2409 Let it Bead(初涉polya定理)
http://poj.org/problem?id=1286 题意:有红.绿.蓝三种颜色的n个珠子.要把它们构成一个项链,问有多少种不同的方法.旋转和翻转后同样的属于同一种方法. polya计数. 搜 ...
- POJ 2409 Let it Bead(Polya定理)
点我看题目 题意 :给你c种颜色的n个珠子,问你可以组成多少种形式. 思路 :polya定理的应用,与1286差不多一样,代码一改就可以交....POJ 1286题解 #include <std ...
- poj 2409 Let it Bead【polya定理+burnside引理】
两种置换 旋转:有n种,分别是旋转1个2个--n个,旋转i的循环节数位gcd(i,n) 翻转:分奇偶,对于奇数个,只有一个珠子对一条边的中点,循环节数为n/2+1:对于偶数个,有珠子对珠子和边对边,循 ...
- POJ 2409 Let it Bead【Polya定理】(模板题)
<题目链接> 题目大意:用k种颜色对n个珠子构成的环上色,旋转.翻转后相同的只算一种,求不等价的着色方案数. 解题分析: 对于这种等价计数问题,可以用polay定理来解决,本题是一道pol ...
- POJ 2409 Let it Bead [置换群 Polya]
传送门 题意:$m$种颜色$n$颗珠子,定义旋转和翻转两种置换,求不等价着色数 暴力求每个置换的循环节也许会$T?$ 我们可以发现一些规律: 翻转: $n$为奇数时每个置换有$1+\frac{n-1} ...
- 【poj2409】Let it Bead Polya定理
题目描述 用 $c$ 种颜色去染 $r$ 个点的环,如果两个环在旋转或翻转后是相同的,则称这两个环是同构的.求不同构的环的个数. $r·c\le 32$ . 题解 Polya定理 Burnside引理 ...
- POJ2409 Let it Bead(Polya定理)
Let it Bead Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 6443 Accepted: 4315 Descr ...
- [POJ1286&POJ2154&POJ2409]Polya定理
Polya定理 L=1/|G|*(m^c(p1)+m^c(p2)+...+m^c(pk)) G为置换群大小 m为颜色数量 c(pi)表示第i个置换的循环节数 如置换(123)(45)(6)其循环节数为 ...
随机推荐
- OSG-基本几何图形
本文转至http://www.cnblogs.com/shapherd/archive/2010/08/10/osg.html 作者写的比较好,再次收藏,希望更多的人可以看到这个文章 互联网是是一个相 ...
- angular-使用iframe做独立页(iframe传值到angular和iframe里请求后台数据)
这个方法使用过两次.一次是在项目中嵌入一个表达式生成器.因为用别人做好的网页变成组件很难,而且里面用了jq,与angular思想相反不能用.另一次是因为想要单独引用样式.而innerHTML使用的样式 ...
- Navicat和DBeaver的查询快捷键
1.Navicat for MySQL(连接MySQL数据库的工具) ctrl + r 执行查询页中所有的sql语句 ctrl + shift + r 只运行选中的sql语句 2.DBeaver(支持 ...
- 《Git学习指南》学习笔记(一)
第二章 入门 git的安装 在Linux下,git的安装很简单.以我的系统Deepin/Ubuntu为例,只需在终端敲入sudo apt-get install git即可.其他Linux发行版可尝试 ...
- 【转载】IOS之禁用UIWebView的默认交互行为
原文地址 :IOS之禁用UIWebView的默认交互行为 http://my.oschina.net/hmj/blog/111344 UIKit提供UIWebView组件,允许开发者在App中嵌入We ...
- 机器学习实战笔记一:K-近邻算法在约会网站上的应用
K-近邻算法概述 简单的说,K-近邻算法采用不同特征值之间的距离方法进行分类 K-近邻算法 优点:精度高.对异常值不敏感.无数据输入假定. 缺点:计算复杂度高.空间复杂度高. 适用范围:数值型和标称型 ...
- LeetCode 138——复制带随机指针的链表
1. 题目 2. 解答 第一次遍历链表的时候,复制旧链表的节点值建立一个新的链表,同时定义一个 unordered_map 作为哈希表,哈希表的键为旧链表的节点指针,值为新链表的节点指针. 然后,第二 ...
- Fox and Number Game
Fox Ciel is playing a game with numbers now. Ciel has n positive integers: x1, x2, ..., xn. She can ...
- Repair the Wall (贪心)
Long time ago , Kitty lived in a small village. The air was fresh and the scenery was very beautiful ...
- 常用算法Java实现之冒泡排序
冒泡排序是所有排序算法中最基本.最简单的一种.思想就是交换排序,通过比较和交换相邻的数据来达到排序的目的. 具体流程如下: 1.对要排序的数组中的数据,依次比较相邻的两个数据的大小. 2.如果前面的数 ...