快速傅里叶变换(FFT)和小波分析在信号处理上的应用
1前言
1.1傅里叶变换
函数f(t)为一元连续函数,其傅里叶变换定义为:
F(w)的傅里叶逆变换定义为:
其中,i为虚数单位。由欧拉公式:
任意绝对可积的连续函数f(t),都可以用三角函数表示,由于三角函数是周期函数,由此可展开为傅里叶级数。本文不加证明地给出傅里叶级数展开式:
设F是所有由一元连续的绝对可积的函数组成的空间,由傅里叶级数知
是F的一组基,即对任意的f(t)属于F,都可以用这组基表示。
实际上,cos(0wt)=1,sin(0wt)=0,但是由于0乘任何数都等于0,不能作为基。这就将基都是由三角函数组成统一起来了。
对任意f(t)、g(t)属于F,定义内积如下:
由此,对任意f(t)、g(t)属于B,有
所以,B是F的一组标准正交基。对任意f(t)属于F,由内积导出范数:
在《泛函分析》中,已证明F为完备的赋范线性空间,进一步可得,F为希尔伯特(Hibert)空间。
那么,如何求一个函数f(t)的傅里叶展开式?这时,傅里叶变换就派上用场了。
设f(t)的傅里叶展开式如下:
假设已经求得f(t)的傅里叶变换函数F(w),如何利用F(w)求得a_m,b_m(m=0,1,2,...)?
实际上a_m,b_m分别是F(mw_0t)的实部(a)和虚部的相反数(-b),即:
证明如下:
其实,傅里叶变换的作用不仅限于此,在求解微分方程时,能够将复杂的积分运算转换成简单的线性运算。对微分方程两边同时进行傅里叶变换,原微分方程就转化为普通一元方程,求出一元方程的解后,再进行傅里叶逆变换,就得到原微分方程的解。读者若对傅里叶级数很感兴趣,请参见《复变函数》。
在信号处理中,傅里叶级数又扮演着什么样的角色?在工程应用中,信号函数f(t)一般极其复杂,往往还夹杂着噪声,无法通过函数图像看出其包含的基本波形频率及振幅。设信号f(t)的傅里叶展开式为:
通过辅助角公式:
f(t)可以转化为如下形式:
可以看出频率和振幅信息。其中nw为频率,c_n为振幅,反映了波的能量大小。当c_n比较小时,说明该频率的波能量较小,可认为是噪声波,去掉该项,再将留下来的波进行重构,起到去噪作用。如果以nw为横坐标,c_n为纵坐标,信号f(t)的信息又可用一串(nw,c_n)点表示,由此得到频谱图。即将时域信息转换为频域信息。
1.2小波分析
小波分析在FFT的基础上,将波形进行改进。FFT以正玄波为母波(余弦波可通过正弦波移相得到),通过增大频率得到一列子波,来建立一组基。小波分析采用更加灵活的波形。如下图,如果1号波的频率为1,那么2号和3号波的频率分别为2、4。
常用的小波如下:
(1)RbioNr.Nd小波(reverse双正交小波)
(2)Gaus小波(由高斯函数派生出)
(3)Dmey小波(Meyer函数的近似,能快速进行小波变换)
(4)Cgau小波(复数形式的高斯小波)
(5)Cmor小波(复数形式的morlet小波)
(6)Fbsp小波(复频域B样条小波)
2信号信息
本文以频率和振幅分别f1=5Hz、a1=6,f2=15Hz、a2=3的两列波为理想信号,以0均值、振幅不超过4的随机扰乱信号为噪声波,两者叠加得到实际波。代码如下:
clear,clc
N=300; %信号采样个数(300个)
F=1000; %采样频率(1000Hz)
t=linspace(0,0.3,N); %时间向量,0.3s采样300个样本,采样频率为1000Hz
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1.波信号信息%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=6*sin(2*pi*5*t)+3*sin(2*pi*15*t); %理想信号(f1=5Hz,a1=6;f2=15Hz,a2=3)
y=4*(rand(1,N)-0.5); %噪声信号(0均值随机扰动)
z=x+y; %实际信号
figure
subplot(221)
plot(t,x);
xlim([0 0.3])
title('理想信号');
subplot(222)
plot(t,y);
xlim([0 0.3])
title('噪声信号');
subplot(223)
plot(t,z);
xlim([0 0.3])
title('实际信号');
subplot(224)
plot(t,x,'linewidth',3.0); %加粗曲线
xlim([0 0.3])
hold on
plot(t,z,'--r')
title('理想信号与实际信号');
运行结果:
3应用快速傅里叶变换(FFT)获取信号频谱图
频谱图,即振幅与频率的关系图。由傅里叶展开式:
傅里叶展开式每一项前面的系数ci为频谱图的纵轴,每一项内部的系数wn为横轴。代码如下:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.应用FFT(快速傅里叶变换)获取信号频谱图%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
n=2^nextpow2(N); %参加FFT的采样点个数为512(300后面的2的指数函数值)
fly=fft(z,n); %对原始信号进行离散傅里叶变换
a=abs(2*fly/N); %振幅
f=F/2*linspace(0,1,n/2+1); %频率
figure
plot(f(1:80),a(1:80)); %绘制信号频谱图
title('频谱图');
xlabel('频率');
ylabel('振幅');
运行结果:
曲线和横轴围成的面积反应了波的能量。从上图可以看出,振幅和频率分别为f1=5Hz、a1=6,f2=15Hz、a2=3的两列波附近的能量比较高,可认为是有效信号,而其他波形附近的能量都比较弱,可认为是噪声。
4应用小波分析进行去噪处理
删除信号f(t)傅里叶展开式中振幅ci较小的波,将留下来的波进行波形重构,就达到去噪目的。代码如下:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%3.应用小波分析进行去噪处理%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
xb=wden(z,'minimaxi','s','one',4,'db3');
figure
subplot(221)
plot(t,x);
xlim([0 0.3])
title('理想信号');
subplot(222)
plot(t,z);
xlim([0 0.3])
title('实际信号');
subplot(223)
plot(t,xb);
xlim([0 0.3])
title('去噪信号');
subplot(224)
plot(t,x,'r',t,xb);
xlim([0 0.3])
title('理想信号与去噪信号');
运行结果:
5应用小波分析进行信号压缩
曲线的信息量远比直线的信息量高,若以硬极核函数为小波,就可对原信号进行压缩。
代码如下:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4.应用小波分析进行信号压缩%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure
subplot(321);
plot(t,z);
xlim([0 0.3])
title('实际信号');
alpha=1.4;
for i=1:5
[C,L]=wavedec(x,i,'haar'); %使用haar小波对信号进行i层分解
thr=wdcbm(C,L,alpha); %获取信号压缩的阈值(threshold)
xd=wdencmp('lvd',C,L,'haar',i,thr,'s'); %对信号进行压缩
subplot(3,2,i+1);
plot(t,xd);
xlim([0 0.3])
ylabel([num2str(i),'层分解']);
end
运行结果:
可以看到,压缩后的信号中有明显的线段。好比同一张照片,若降低像素,可以看到明显的格点。
6应用小波分析进行信号分离
代码如下:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5.应用小波分析进行信号分离%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[C,L]=wavedec(z,5,'db5'); %使用db5小波对信号进行5层分解
figure;
subplot(321);
plot(t,z);
xlim([0 0.3])
ylabel('实际信号');
for i=1:5
%对分解的第5层到第1层的低频系数进行重构
A=wrcoef('A',C,L,'db5',6-i);
subplot(3,2,i+1);
plot(t,A);
xlim([0 0.3])
ylabel(['A',num2str(6-i)]);
end
figure;
subplot(321);
plot(t,z);
xlim([0 0.3])
ylabel('实际信号');
for i=1:5
% 对分解的第5层到第1层的高频系数进行重构
D=wrcoef('D',C,L,'db5',6-i);
subplot(3,2,i+1);
plot(t,D);
xlim([0 0.3])
ylabel(['D',num2str(6-i)]);
end
运行结果:
(1)对分解的第5层到第1层的低频系数进行重构
本例的理想信号的两列波的频率分别为f1=5Hz、f2=15Hz,都属于低频波,所以重构效果较好。
(2)对分解的第5层到第1层的高频系数进行重构
本例的理想信号的两列波的频率都属于低频波,而高频波主要是噪音,所以重构效果较差。
7全部代码
clear,clc
N=300; %信号采样个数(300个)
F=1000; %采样频率(1000Hz)
t=linspace(0,0.3,N); %时间向量,0.3s采样300个样本,采样频率为1000Hz
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1.波信号信息%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=6*sin(2*pi*5*t)+3*sin(2*pi*15*t); %理想信号(f1=5Hz,a1=6;f2=15Hz,a2=3)
y=4*(rand(1,N)-0.5); %噪声信号(0均值随机扰动)
z=x+y; %实际信号
figure
subplot(221)
plot(t,x);
xlim([0 0.3])
title('理想信号');
subplot(222)
plot(t,y);
xlim([0 0.3])
title('噪声信号');
subplot(223)
plot(t,z);
xlim([0 0.3])
title('实际信号');
subplot(224)
plot(t,x,'linewidth',3.0); %加粗曲线
xlim([0 0.3])
hold on
plot(t,z,'--r')
title('理想信号与实际信号');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.应用FFT(快速傅里叶变换)获取信号频谱图%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
n=2^nextpow2(N); %参加FFT的采样点个数为512(300后面的2的指数函数值)
fly=fft(z,n); %对原始信号进行离散傅里叶变换
a=abs(2*fly/N); %振幅
f=F/2*linspace(0,1,n/2+1); %频率
figure
plot(f(1:80),a(1:80)); %绘制信号频谱图
title('频谱图');
xlabel('频率');
ylabel('振幅');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%3.应用小波分析进行去噪处理%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
xb=wden(z,'minimaxi','s','one',4,'db3');
figure
subplot(221)
plot(t,x);
xlim([0 0.3])
title('理想信号');
subplot(222)
plot(t,z);
xlim([0 0.3])
title('实际信号');
subplot(223)
plot(t,xb);
xlim([0 0.3])
title('去噪信号');
subplot(224)
plot(t,x,'r',t,xb);
xlim([0 0.3])
title('理想信号与去噪信号');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4.应用小波分析进行信号压缩%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure
subplot(321);
plot(t,z);
xlim([0 0.3])
title('实际信号');
alpha=1.4;
for i=1:5
[C,L]=wavedec(x,i,'haar'); %使用haar小波对信号进行i层分解
thr=wdcbm(C,L,alpha); %获取信号压缩的阈值(threshold)
xd=wdencmp('lvd',C,L,'haar',i,thr,'s'); %对信号进行压缩
subplot(3,2,i+1);
plot(t,xd);
xlim([0 0.3])
ylabel([num2str(i),'层分解']);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5.应用小波分析进行信号分离%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[C,L]=wavedec(z,5,'db5'); %使用db5小波对信号进行5层分解
figure;
subplot(321);
plot(t,z);
xlim([0 0.3])
ylabel('实际信号');
for i=1:5
%对分解的第5层到第1层的低频系数进行重构
A=wrcoef('A',C,L,'db5',6-i);
subplot(3,2,i+1);
plot(t,A);
xlim([0 0.3])
ylabel(['A',num2str(6-i)]);
end
figure;
subplot(321);
plot(t,z);
xlim([0 0.3])
ylabel('实际信号');
for i=1:5
% 对分解的第5层到第1层的高频系数进行重构
D=wrcoef('D',C,L,'db5',6-i);
subplot(3,2,i+1);
plot(t,D);
xlim([0 0.3])
ylabel(['D',num2str(6-i)]);
end
8参考链接
[1] 傅里叶分析之掐死教程(完整版)
声明:本文转自快速傅里叶变换(FFT)和小波分析在信号处理上的应用
快速傅里叶变换(FFT)和小波分析在信号处理上的应用的更多相关文章
- [学习笔记] 多项式与快速傅里叶变换(FFT)基础
引入 可能有不少OIer都知道FFT这个神奇的算法, 通过一系列玄学的变化就可以在 $O(nlog(n))$ 的总时间复杂度内计算出两个向量的卷积, 而代码量却非常小. 博主一年半前曾经因COGS的一 ...
- 基于python的快速傅里叶变换FFT(二)
基于python的快速傅里叶变换FFT(二)本文在上一篇博客的基础上进一步探究正弦函数及其FFT变换. 知识点 FFT变换,其实就是快速离散傅里叶变换,傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法. ...
- 快速傅里叶变换FFT& 数论变换NTT
相关知识 时间域上的函数f(t)经过傅里叶变换(Fourier Transform)变成频率域上的F(w),也就是用一些不同频率正弦曲线的加 权叠加得到时间域上的信号. \[ F(\omega)=\m ...
- 多项式 之 快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/常用套路【入门】
原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Fast-Fourier-Transform.html 多项式 之 快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/ ...
- 快速傅里叶变换(FFT)
扯 去北京学习的时候才系统的学习了一下卷积,当时整理了这个笔记的大部分.后来就一直放着忘了写完.直到今天都腊月二十八了,才想起来还有个FFT的笔记没整完呢.整理完这个我就假装今年的任务全都over了吧 ...
- 快速傅里叶变换(FFT)_转载
FFTFFT·Fast Fourier TransformationFast Fourier Transformation快速傅立叶变换 P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 参考上文 首 ...
- 浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵的求法以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理
浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵与拉格朗日(Lagrange)插值的关系以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理 标签: 行列式 矩阵 线性代数 FFT 拉格朗日插值 只要稍微看 ...
- 快速傅里叶变换FFT / NTT
目录 FFT 系数表示法 点值表示法 复数 DFT(离散傅里叶变换) 单位根的性质 FFT(快速傅里叶变换) IFFT(快速傅里叶逆变换) NTT 阶 原根 扩展知识 FFT 参考blog: 十分简明 ...
- 【学习笔记】快速傅里叶变换(FFT)
[学习笔记]快速傅里叶变换 学习之前先看懂这个 浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵的求法以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理--gzy hhh开个玩笑. 讲一下\(FFT\) ...
- 快速傅里叶变换(FFT)学习笔记
定义 多项式 系数表示法 设\(A(x)\)表示一个\(n-1\)次多项式,则所有项的系数组成的\(n\)维向量\((a_0,a_1,a_2,\dots,a_{n-1})\)唯一确定了这个多项式. 即 ...
随机推荐
- Linux系统下安装JDK8和Maven3.8.5
一.下载JDK8Linux版本 官网下载太慢了,小编这里为大家下载好了: 链接:百度网盘地址 提取码:ov24 二.下载Maven maven3.8.5下载链接 三.使用xftp上传到linux上 四 ...
- Linux_sqlcmd或者是Cloudquery连接SQLSERVER2012的问题解决
Linux_sqlcmd或者是Cloudquery连接SQLSERVER2012的问题解决 背景 最近想使用shell脚本给SQLServer数据库插入数据,但是发现了报错 同时进行CLoudquer ...
- [转帖]学习如何编写 Shell 脚本(进阶篇)
https://juejin.cn/post/6935365727205457928 前言 在<学习如何编写 Shell 脚本(基础篇)>一文中已经讲解了 Shell 脚本编程的基础知识, ...
- [转帖]oswatch--Linux
https://www.fengnayun.com/news/content/46922.html 一 官方参考OSWatcher (Includes: [Video]) (文档 ID 301137. ...
- [转帖]Systemd 指令
一.由来 历史上,Linux 的启动一直采用init进程. 下面的命令用来启动服务. $ sudo /etc/init.d/apache2 start # 或者 $ service apache2 s ...
- 华为云CCE Turbo:基于eBPF的用户自定义多粒度网络监控能力
本文分享自华为云社区<华为云CCE Turbo:基于eBPF的用户自定义多粒度网络监控能力>,作者: 云容器大未来. 基于eBPF的容器监控的兴起 容器具有极致弹性.标准运行时.易于部署等 ...
- 【VictoriaMetrics源码阅读】vm中仿照RoaringBitmap的实现:uint64set
作者:张富春(ahfuzhang),转载时请注明作者和引用链接,谢谢! cnblogs博客 zhihu 公众号:一本正经的瞎扯 正文 VictoriaMetrics中使用uint64类型来表示一个Me ...
- Golang zip压缩文件读写操作
创建zip文件 golang提供了archive/zip包来处理zip压缩文件,下面通过一个简单的示例来展示golang如何创建zip压缩文件: func createZip(filename str ...
- chrome谷歌浏览器多开(独立环境 独立cookie)
复制下面代码(路径) "C:\Program Files\Google\Chrome\Application\chrome.exe" --user-data-dir="D ...
- RocketMQ—引言
RocketMQ-引言 MQ介绍 在学习RocketMQ之前,我们先来看以下MQ的意思. MQ是Message Queue的首字母缩写. Message:意思为消息,在我们生活中可以是一句话/一个短信 ...