P10160 [DTCPC 2024] Ultra 题解

【题目描述】

给你一个 \(01\) 序列，你可以进行如下操作若干次（或零次）:

• 将序列中形如 \(101\cdots01\) 的一个子串（即 \(1(01)^k\)，\(k\ge 1\)）替换成等长的 \(010\cdots10\)（即 \(0(10)^k\)）。

你要操作使得 \(1\) 的个数尽可能少，输出最少的 \(1\) 的个数。

【思路】

一开始看到这道题不会做，问老师，于是：

于是开始自己造数据，把结论玩出来了。

首先考虑这样子的情况：A00B，\(A,B\) 是一个 \(01\) 序列。我们不难发现，对于这种情况，\(A,B\) 不管怎么替换，都不可能将 \(A,B\) 连在一起。于是我们有了第一步，将整个串分割开，分割条件是出现两个及以上连续的 \(0\)。

现在我们得到了一大堆 \(01\) 序列，这些序列都没有两个及以上连续的 \(0\)。对于每一个序列，可以分为两种情况：

• \(111\cdots111\)：对于全部都是 \(1\) 的串，我们无法对其进行操作，答案加上区间长度。
• \(111\cdots101\cdots111\)：对于其中至少有一个 \(0\) 的串，我们一定有一种方法让他只剩下一个 \(1\)，答案加 \(1\)。证明过程放在最后。

于是这道题就做完了。

嗯。

【Code】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[1000005];
int n,ans;
//判断是否是区间开始
bool Is_start(int x){
	if(x==1&&s[x]=='1') return true;
	if(x==2&&s[x-1]=='0'&&s[x]=='1') return true;
	if(x>=3&&s[x-2]=='0'&&s[x-1]=='0'&&s[x]=='1') return true;
	return false;
}
//判断是否为区间结束
bool Is_end(int x){
	if(s[x]=='1'&&s[x+1]=='0'&&s[x+2]=='0') return true;
	return false;
}
//判断一个区间中是否有 0
bool No_zero(int l,int r){
	for(int i=l;i<=r;i++){
		if(s[i]=='0') return false;
	}return true;
}
int main()
{
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);
	s[n+1]=s[n+2]='0';
	int l=0,r=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(Is_start(i)) l=i; //是区间开始
		if(Is_end(i)){	     //是区间结束
			r=i;
			if(No_zero(l,r)) ans+=r-l+1; //全部是 1，无法消去
			else             ans+=1;     //其中有 0，消到一个
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

【证明】

证明内容：一个至少包含一个 \(0\) 的 \(01\) 串，最后一定可以被消除到只剩一个 \(1\)

我们从这个 \(01\) 串最右边的那个 \(0\) 开始。

那么这个串可以表示为 \(1\cdots1110111 \cdots 1A\) 的形式，\(A\) 是一个 \(01\) 串。

\(\begin{array}{c}
\ \ \ \ \ \ \ \ {\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1} \cdots {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots {\color{Blue}1}A
\end{array}\)

在替换的这个串的左边会碰到这个串的边缘：

\(\begin{array}{c}
\ \ \ \ \ \ \ \ {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\end{array}\)

然后慢慢缩回来。

而它的右边则有两种情况：

• 碰到 \(1\)，一起改变掉。

• 碰到 \(0\)：

  \(\begin{array}{c}
  \ \ \ \ \ \ \ \ {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
  \Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
  \Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
  \Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
  \Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
  \Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
  \Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
  \end{array}\)