[CQOI2011]放棋子--DP
题目描述:
输入格式
输入第一行为两个整数n, m, c,即行数、列数和棋子的颜色数。
第二行包含c个正整数,即每个颜色的棋子数。
所有颜色的棋子总数保证不超过nm。
N,M<=30 C<=10 总棋子数有大于250的情况
输出格式
输出仅一行,即方案总数除以 1,000,000,009的余数。
样例
样例输入
4 2 2
3 1
样例输出
8
数据范围与提示
30% n,m<=10
solution:10%:cout<<0<<endl;
肯定有0的情况比如c>min(n,m)之类的。。。
20%:搜索,枚举所有状态。
据说这是搜索最高得分,然而博主考试时只拿到10分,而且还不是TLE。
下面说正解
我们考虑dp,设f[i][j][k]表示前k种颜色的棋子占领任意i行j列的方案数,g[i][j][k]表示第k种颜色的所有棋子占领任意i行j列的方案数;
那么我们首先可以得到g[i][j][k]=$C_{i*j}^{num[k]}$-$\sum_\limits{p=1}^{i}$$\sum_\limits{q=1}^{j}$g[p][q][k]*$C_{i}^{p}$*$C_{j}^{q}$
其实就是用合法的减去不合法的(实际上有没有被占领的行或列的方案数)
接下来得到f的方程:
$f[i][j][k]=\sum_{p=0}^{i-1}\sum_{q=0}^{j-1}$
$f[i][j][k]=\sum_{p=0}^{i-1}\sum_{q=0}^{j-1}f[p][q][k-1]*g[i-p][j-q][k]*C_{n-p}^{i-p}*C_{m-q}^{j-q}$,f[0][0][0]=1;
p,q,k-1就是枚举的上一个状态,$C_{n-p}^{i-p}$表示n-p行中选出i-p行放棋子,$C_{m-q}^{i-q}$同理,
最后ans=$\sum_{i=1}^{n}$$\sum_{j=1}^{m}$f[i][j][c],于是这道题就完美地解决了
放代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mod 1000000009
#define ll long long
#define MAXNM 905
using namespace std;
int n,m,c,num[];
ll C[MAXNM][MAXNM],g[][][],f[][][],ans=;
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
for(int i=;i<=n*m;i++){
C[i][]=;
for(int j=;j<=i;j++)
C[i][j]=(C[i-][j]+C[i-][j-])%mod;
}
f[][][]=;
for(int k=;k<=c;k++)
scanf("%d",&num[k]);
for(int k=;k<=c;k++){
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=m;j++){
if(i*j<num[k]) continue;
g[i][j][k]=C[i*j][num[k]];
for(int p=;p<=i;p++)
for(int q=;q<=j;q++){
if(p<i||q<j)
g[i][j][k]=(g[i][j][k]-g[p][q][k]*C[i][p]%mod*C[j][q]%mod)%mod;
//cout<<g[i][j]<<endl;
}
}
}
for(int k=;k<=c;k++){
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=m;j++)
for(int p=;p<i;p++)
for(int q=;q<j;q++){
int l=i-p,r=j-q;
if(l*r<num[k]) continue;
f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[p][q][k-]*g[l][r][k]%mod*C[n-p][l]%mod*C[m-q][r]%mod)%mod;
//cout<<f[i][j][k]<<endl;
}
}
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=m;j++)
ans=(ans+f[i][j][c])%mod;
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
我们发现g只对当前一种棋子有贡献,所以第三维可以干掉,在每次输入时处理g和f
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mod 1000000009
#define ll long long
#define MAXNM 905
using namespace std;
int n,m,c,num[12];
ll C[MAXNM][MAXNM],g[35][35],f[35][35][15],ans=0;
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
for(int i=0;i<=n*m;i++){
C[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)
C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
}
f[0][0][0]=1;
for(int k=1;k<=c;k++){
scanf("%d",&num[k]);
memset(g,0,sizeof(g));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
if(i*j<num[k]) continue;
g[i][j]=C[i*j][num[k]];
for(int p=1;p<=i;p++)
for(int q=1;q<=j;q++){
if(p<i||q<j)
g[i][j]=(g[i][j]-g[p][q]*C[i][p]%mod*C[j][q]%mod)%mod;
//cout<<g[i][j]<<endl;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int p=0;p<i;p++)
for(int q=0;q<j;q++){
int l=i-p,r=j-q;
if(l*r<num[k]) continue;
f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[p][q][k-1]*g[l][r]%mod*C[n-p][l]%mod*C[m-q][r]%mod)%mod;
//cout<<f[i][j][k]<<endl;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
ans=(ans+f[i][j][c])%mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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