二分+mu函数实质及应用(原理)!——bzoj2440好题
首先想到用二分来判断
不是平方数的倍数,即没有次数>=2的质因子
显然用容斥原理,即所有答案-1个质因子的平方的所有倍数+2个质因子的所有平方倍...
等价于对于每个数,如果它有奇数个质因子,那么其贡献系数是-1,反之则是1,
如果自己本身有平方因子(比如2*2*3),那么其贡献系数是0,因为已经被前面的筛掉了(1的时候+1,2,3的时候-1,2*3的时候+1,最后已经成为0了),根本不用去管它
那么可以发现i的系数恰好是mu[i]
其实由这题可以发现mu[i]函数的意义,即容斥系数
本题用容斥筛出i的倍数时 对应的系数恰好是 mu[i]是因为:mu[i]的本质就是来筛i的倍数的
设f(n)是原函数,g(n)是和函数
mu[p1]=-1 是因为 f(n)必须要减去一个g(n/p1)
mu[p1*p2]=1是因为 f(n)=g(n)-g(n/p1)-g(n/p2),多减掉了一个g(n/p1/p2)
mu[p1^k*p2]=0 是因为 f(n)=g(n)-g(n/p1)-g(n/p2)+g(n/p1/p2) 里 的g(n/p1^k/p2)已经被做成0了
g(n/p1的所有倍数)系数-1,g(n/p2的所有倍数)系数-1,g(n/p1/p2)的所有倍数系数+1,所以g(n/p1/p2的所有倍数)的系数最后变成了0,包括g(n/p1/p1/p2)之类的系数
所以不需要再加减了
#define N 100000
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL inf = (1LL<<)-;
const int MAXN = ;
LL l,r;
int ans;
int mobius[MAXN],k;
int prime[MAXN],cnt;
bool ok[MAXN]; inline int getint()
{
int w=,q=; char c=getchar();
while((c<'' || c>'') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=,c=getchar();
while (c>='' && c<='') w=w*+c-'', c=getchar(); return q ? -w : w;
} inline void init(){
mobius[]=;
for(int i=;i<=N;i++) {
if(!ok[i]) prime[++cnt]=i,mobius[i]=-;
for(int j=;j<=cnt && prime[j]*i<=N;j++) {
ok[i*prime[j]]=;
if(i%prime[j]) mobius[i*prime[j]]=-mobius[i];
else { mobius[i*prime[j]]=; break; }
}
}
} inline bool check(LL x){
LL div=sqrt(x); int tot=;
for(int i=;i<=div;i++) {
tot+=mobius[i] * (x/(i*i));
}
//tot=x-tot;
if(tot>=k) return true;
return false;
} inline void work(){
init(); int T=getint(); LL mid;
while(T--) {
k=getint(); l=; r=inf; ans=inf;
while(l<=r) {
mid=(l+r)/;
if(check(mid)) ans=mid,r=mid-;
else l=mid+;
}
printf("%d\n",ans);
}
} int main()
{
work();
return ;
}
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