【BZOJ3675】序列分割（斜率优化，动态规划）

题面

Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3

4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

题解

玄学。。。。

我是说我的程序很玄学。。。

先说说正常的做法：

我们考虑一下序列分割的顺序

假设有三段连续的数字\(a,b,c\)

先分割\(a\)，再割\(b\)

贡献：\(a*(b+c)+b*c=ab+bc+ca\)

先分割\(b\)，再割\(a\)

贡献：\((a+b)*c+a*b=ab+bc+ca\)

上下两者贡献相同

意味着这道题目分割的顺序对于答案并没有影响

所以一个\(O(n^2k)\)的DP很容易想出来

for(int j=1;j<=K+1;++j)

	for(int i=1;i<=n;++i)

		for(int k=1;k<i;++k)

			f[i][j&1]=max(f[i][j&1],f[k][(j-1)&1]+1ll*(a[i]-a[k])*a[k]);

然后，推推式子

发现可以斜率优化

然后就可以搞了，

神TM玄学（我也不知道我是怎么改对的）

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<queue>

using namespace std;

#define MAX 110000

#define ll long long

#define RG register

inline int read()

{

	RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();

	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();

	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

	return x*t;

}

ll f[2][MAX],n,K;

int zy[MAX][210];

ll a[MAX];

int Q[MAX],h,t;

inline ll sqr(ll x){return x*x;}

inline double F(int x,int y,int j)

{

	if(a[x]==a[y])

		return -1e18;

	return 1.0*((f[(j-1)&1][x]-sqr(a[x]))-(f[(j-1)&1][y]-sqr(a[y])))/(a[y]-a[x]);

}

int main()

{

	n=read();K=read();

	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read()+a[i-1];

	for(int j=1;j<=K+1;++j)

	{

		h=t=0;memset(Q,0,sizeof(Q));

		for(int i=1;i<=n;++i)

		{

			while(h<t&&F(Q[t-1],Q[t],j)>=F(Q[t-1],i,j))Q[t]=0,t--;

			Q[++t]=i;

		}

		for(int i=1;i<=n;++i)

		{

			//for(int k=1;k<i;++k)

			//	f[i][j&1]=max(f[i][j&1],f[k][(j-1)&1]+1ll*(a[i]-a[k])*a[k]);

			while(h<t&&F(Q[h],Q[h+1],j)<=a[i]*1.0)Q[h]=0,h++;

			int k=Q[h];

			f[j&1][i]=f[(j-1)&1][k]+1ll*(a[i]-a[k])*a[k];

			zy[i][j]=k;

		}

	}

	printf("%lld\n",f[(K)&1][n]);

	RG int now=n;

	for(int i=K;i;i--)

	{

		printf("%d ",zy[now][i]);

		now=zy[now][i];

	}

	puts("");

	return 0;

}