第 07 讲 求解 Ax=0 :主变量,特解

矩阵的秩Rank(A):矩阵主元的个数。

找出“主变量”pivotvariables,主列,即主元所在的列,其他列,称为自由列。(自由列表示可以自由或任意分配数值,列2和列4的数值是任意的,因此x2和x4是任意的,可以自由取)。

算法整理:

消元后矩阵U的秩Rank(A)=r,表示主变量的个数,主元的个数,表示只有r个方程起作用,那么自由变量的个数即n-r个(对于矩阵m×n,n列对应n个未知数),令自由变量取1,0值就能得到特解,所有的特解构成了零空间的基,特解的线性组合即构成了整个零空间。

简化行阶梯形式
R=简化行阶梯形式reducedrowechelonform(rref):主元上下都是0,主元变为1

它以最简的形式包含了所有信息:1)主行(行一,行二);
2)主列(列一,列三),自由列,主元;
3)一个单位阵,主元上下均为0,而且主元为1,单位阵位于主列和主行的交汇处。以上是一个2×2的单位阵;
4)一个全为0的行,全为0的行总表示,该行的原行是其他行的线性组合;5)从Ax=0变为Ux=0再变为Rx=0的解,解更明了

将以上矩阵R中的主元列和自由列分别放在一起形成单位矩阵I和自由列矩阵F,对于特解结果,自由列中数字的相反数即特解中的主元值,如下图左边的解和右边的I与F

第 08 讲 求解 Ax=b:可解性与结构

若 Ax=b 有解,则 b3-b1-b2=0

Ax=b可解性Solvability:有解时右侧向量b须满足的条件
1)有解,仅当b属于A的列空间时成立,即,b必须是A的各列的线性组合

2)行的线性组合如果得到零行,那么b中元素的同样组合必然也是零。这两种描述是等价的!他们同样是描述方程组有解的条件。

把所有这些解在四维空间中都画出来,想象一下,Xp是一个非原点的点,Xn是一个穿过原点的平面,那么Xp+Xn是两者的组合,是一个不经过原点的经过Xp的二维平面,注意它不是子空间。

第 09 讲 线性相关性、基、维数

向量空间的一组基是指:一系列的向量,v1,v2...vd,这些向量具有两大性质:1)他们是线性无关的,可逆;2)他们生成整个空间

这些基有一个共同的特点,即对于给定N维空间,那么基向量的个数就是N个(即不管是3维空间,列空间,还是零空间,空间中任意基都满足:基向量的个数相等)。

维数
维数,即基向量的个数,空间的大小(维数)

比如上面这个列向量,他们能生成列空间,但这些列向量不是基,但我们可以得到第一列和第二列是列空间的一组基,2是基的维数。
即上面:矩阵的秩Rank(A)=2为列空间的维数(注意不是矩阵A的维数,是A的列空间的维数,同样,不能说子空间的秩,矩阵才有秩)。

零空间的维数是自由变量的数目。已知矩阵Am×n,秩为r,那么自由变量为n-r,即dim(N(A))=n-r

第 10 讲 四个基本子空间

维数问题
列空间

  A的主列就是列空间的一组基,dim(C(A))=Rank(A)=r,维数就是秩的大小行空间:有一个重要的性质:行空间和列空间维数相同,都等于秩的大小
零空间

  一组基就是一组特殊解,r是主变量的个数,n-r是自由变量的个数,零空间的维数等于n-r左零空间:维数为m-r。

  n维空间中存在两个子空间,一个r维的行空间,一个n-r维的零空间,维数和为n。和另一个结论相似:r个主变量,n-r个是自由变量,加起来是n。
  m维空间中存在两个子空间,一个r维的列空间,一个m-r维的左零空间,维数和为m。

  左零空间的基

  

基的问题

  • 列空间:主列组合就是一组基
  • 零空间:一组特殊解就是一组基
  • 行空间:通过初等行变换变换成行最简式,行空间的一组基即是行最简形R的前r(秩数)行。(行变换不会对行空间产生影响,但会对列空间产生影响。)

 新向量空间

  所有3*3矩阵构成的集合是一个向量空间,符合对于现行运算的封闭,称之为M

  M的子空间包括:

  • 所有上三角阵
  • 所有对称阵
  • 所有对角阵

  对角阵是前两个子空间的交集,维数为3,具有以下一组基:

  

第 11 讲 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图

3×3的所有矩阵,它的维数是9,一组基是:

秩1矩阵
回到重点,矩阵的关键数字——矩阵的秩,秩为1的矩阵
所有秩1的矩阵都可表示为一列乘以一行的形式:A=UVT,U是列向量,V也是列向量
秩1矩阵可以就像搭建其他矩阵的积木一样,如果有5×17的矩阵,秩为4,可以把这5×17的矩阵分解为4个秩1矩阵的组合。

两个矩阵之和的秩小于等于两个矩阵的秩之和

MIT-线性代数笔记(7-11)的更多相关文章

  1. 线性代数笔记24——微分方程和exp(At)

    原文:https://mp.weixin.qq.com/s/COpYKxQDMhqJRuMK2raMKQ 微分方程指含有未知函数及其导数的关系式,解微分方程就是找出未知函数.未知函数是一元函数的,叫常 ...

  2. Android菜鸟的成长笔记(11)——Android中的事件处理

    原文:[置顶] Android菜鸟的成长笔记(11)——Android中的事件处理 Android提供了两种方式来处理事件,一个是基于回调的事件处理,另一个是基于监听的事件处理,举个例子: 基于回调的 ...

  3. 线性代数笔记13——Ax=b的通解

    关于最简行阶梯矩阵和矩阵秩,可参考<线性代数笔记7——再看行列式与矩阵> 召唤一个方程Ax = b: 3个方程4个变量,方程组有无数解,现在要关注的是b1b2b3之间满足什么条件时方程组有 ...

  4. ROS进阶学习笔记(11)- Turtlebot Navigation and SLAM - ROSMapModify - ROS地图修改

    ROS进阶学习笔记(11)- Turtlebot Navigation and SLAM - 2 - MapModify地图修改 We can use gmapping model to genera ...

  5. Django商城项目笔记No.11用户部分-QQ登录1获取QQ登录网址

    Django商城项目笔记No.11用户部分-QQ登录 QQ登录,亦即我们所说的第三方登录,是指用户可以不在本项目中输入密码,而直接通过第三方的验证,成功登录本项目. 若想实现QQ登录,需要成为QQ互联 ...

  6. Linux学习笔记(11)linux网络管理与配置之一——配置路由与默认网关,双网卡绑定(5-6)

    Linux学习笔记(11)linux网络管理与配置之一——配置路由与默认网关,双网卡绑定(5-6) 大纲目录 0.常用linux基础网络命令 1.配置主机名 2.配置网卡信息与IP地址 3.配置DNS ...

  7. SpringBoot学习笔记(11):使用WebSocket构建交互式Web应用程序

    SpringBoot学习笔记(11):使用WebSocket构建交互式Web应用程序 快速开始 本指南将引导您完成创建“hello world”应用程序的过程,该应用程序在浏览器和服务器之间来回发送消 ...

  8. Flutter学习笔记(11)--文本组件、图标及按钮组件

    如需转载,请注明出处:Flutter学习笔记(10)--容器组件.图片组件 文本组件 文本组件(text)负责显示文本和定义显示样式,下表为text常见属性 Text组件属性及描述 属性名 类型 默认 ...

  9. javaSE学习笔记(11)--- Map

    javaSE学习笔记(11)--- Map 1.Map集合 现实生活中,我们常会看到这样的一种集合:IP地址与主机名,身份证号与个人,系统用户名与系统用户对象等,这种一一对应的关系,就叫做映射.Jav ...

  10. MIT线性代数:11.矩阵空间、秩1矩阵和小世界图

随机推荐

  1. 使用nginx作为websocket的proxy server

    blog.csdn.net/zhx6044/article/details/50278765 WebSocket WebSocket协议为创建客户端和服务器端需要实时双向通讯的webapp提供了一个选 ...

  2. 7系列高速收发器总结 GTP IP核使用篇

    上一篇7系列收发器博文讲解了GTP IP核的基本配置,本文继续分析如何将它使用起来.生成IP核后打开example design,先看看工程中包含的文件结构. 顶层文件下包含了gtp ip核系统顶层文 ...

  3. Codeforces 900 E. Maximum Questions (DP,技巧)

    题目链接:900 E. Maximum Questions 题意: 给出一个长度为n只含有a和b还有'?'的串s,且'?'可以被任意替换为a或b.再给出一个字符串t (奇数位上为a,偶数位上为b,所以 ...

  4. Java 敏感词过滤,Java 敏感词替换,Java 敏感词工具类

    Java 敏感词过滤,Java 敏感词替换,Java 敏感词工具类   =========================== ©Copyright 蕃薯耀 2017年9月25日 http://www ...

  5. NPM使用命令总结

    NPM使用命令总结 npm是一个node包管理和分发工具,已经成为了非官方的发布node模块(包)的标准.有了npm,可以很快的找到特定服务要使用的包,进行下载.安装以及管理已经安装的包. 1.npm ...

  6. J.U.C atomic 数组,字段原子操作

    这里看一下原子数组操作和一些其他的原子操作. AtomicIntegerArray/AtomicLongArray/AtomicReferenceArray的API类似,选择代表性的AtomicInt ...

  7. Java数据持久层框架 MyBatis之API学习七(动态 SQL详解)

    对于MyBatis的学习而言,最好去MyBatis的官方文档:http://www.mybatis.org/mybatis-3/zh/index.html 对于语言的学习而言,马上上手去编程,多多练习 ...

  8. mybatis if条件查询 及<号的问题

    摘录自:http://flt95.blog.163.com/blog/static/12736128920136185841551/ <if test="p=='1'"> ...

  9. Python--socketserve源码分析(一)

    class ThreadingTCPServer(ThreadingMixIn, TCPServer): pass 实现原理: s =socketserver.ThreadingTCPServer(参 ...

  10. Xpath语法学习

    贴几个我学习Xpath的参考 1 基本使用的参考 XPath学习:基本语法(一) 2 较为详细且清晰例子参考,推荐 XPath 详解,总结 3 详细语法参考 Xpath语法格式整理 4 官方参考 XP ...