BZOJ 2839: 集合计数 [容斥原理 组合]

2839: 集合计数

题意：n个元素的集合，选出若干子集使得交集大小为k，求方案数

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先选出k个\(\binom{n}{k}\)，剩下选出一些集合交集为空集

考虑容斥

\[交集为\emptyset = 任意选的方案数-交集\ge 1 的方案数+交集\ge 2的方案数-...
\]

交集\(\ge i\)就是说先选出i个元素在交集里，剩下的元素的集合任选

那么就是

\[\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(2^{2^{n-i}}-1)
\]

组合数直接推阶乘和逆元

后面的\(2^{2^x}\)，考虑快速幂的过程\(2^{2^i}=2^{2^{i-1}}2^{2^{i-1}}\)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=1e6+5, P=1e9+7;
typedef long long ll;
inline int read(){
	char c=getchar(); int x=0,f=1;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}

int n, k;
ll ans, now=2, inv[N], fac[N], facInv[N];
inline ll C(int n, int m) {return fac[n]*facInv[m]%P*facInv[n-m]%P;}
inline void mod(ll &x) {if(x>=P) x-=P;}
int main() {
	freopen("in","r",stdin);
	n=read(); k=read();
	inv[1]=1; fac[0]=facInv[0]=1;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		if(i!=1) inv[i] = (P-P/i)*inv[P%i]%P;
		fac[i] = fac[i-1]*i%P;
		facInv[i] = facInv[i-1]*inv[i]%P;
	}
	n -= k;
	for(int i=n; i>=0; i--) {
		(ans += ((i&1) ? -1 : 1) * C(n, i)*(now-1)%P) %=P;
		now = now*now%P;
	}
	if(ans<P) ans+=P;
	ans = ans*C(n+k, k)%P;
	printf("%lld\n", ans);
}