LinearRegression 线性回归

一、预测

先来看看这样一个场景：

假如你手头有一套房子要出售，你咨询了房产中介。中介跟你要了一系列的数据，例如房子面积、位置、楼层、年限等，然后进行一系列计算后，给出了建议的定价。

房产中介是如何帮你定价的？

“中介”通过他多年的“从业”经验，知道哪些因素会影响房子的价格，且知道各自的“影响”有多大，于是在接过“你的房子”时，他就能通过自已的经验计算出“价格”了。

当然，这个价格，不同的中介，得到的也不同。有经验的中介，可以很准确的预测到价格。而经验不足者，可以会有很大的偏差。

注意上面引号内的东西。将引号内的东西做如下抽象：

中介 ——> 模型

从业 ——> 学习

影响 ——> 权重

房子 ——> 样本

价格 ——> 输出

这便可以当作是一个线性回归模型。

二、线性回归

线性回归，用于解决数值预测问题。

1、模型假设

假设有一类数据样本$（x，y）$，$x$ 表示一个样本的特征集$(x_0,x_1,x_2,...,x_n)$，$y$ 表示该样本的值。

假设 $y$ 与 $x$ 之间，存在某种线性关系，那么数学上，可以用如下方程表示：

$
h(x) = \theta_0x_0 + \theta_1x_1 + ...+ \theta_nx_n
$

用矩阵表示为：

$
h_\theta(x) = \theta^TX
$

显然，要确定 $x$ 与 $y$ 之间的关系，只需要求解 $\theta$ 的值便可以。

那么，$\theta$ 应该怎么求？

2、梯度下降算法

2.1 直观理解梯度下降

上述的问题，归结到求 $\theta$。

求取 $\theta$，可否这样处理：先随机定一组 $\theta$ 值，然后将已知的样本代入模型公式中，得到输出的 $h$值，然后与样本 $y$ 值相比较，若 $h$ 比 $y$ 大，就减少 $\theta$，若 $h$ 比 $y$ 小，就增加 $\theta$。

显然是OK的，但关键是 $\theta$ 每次要变化多大的量合适？当然了，每次就修改一点点，例如0.00000000001，然后修改了100年，终于得到一个合适的参数，这样理论上也是可以的。

那有没有什么办法，可以让 $\theta$ “快速的变化”到理想状态呢？

注意引号中的内容——快速的变化，想到什么没？是的，变化率！

数学上来讲，是求导！

用谁对谁求？当然是计算值与y之前误差了。

有了变化率，$\theta$ 要变大，还是变小？

梯度下降算法认为，往梯度反方向变化，即是做减法。

2.2 梯度下降法计算过程

误差函数

令误差函数如下式：

$
J = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2
$

这个式子，解释一下。

误差用输出值与 $y$ 值作差，这个没得说。平方是让差值恒为正。而前方的 1/2，是为了求导时将平方约去，简化运算。

求导

$J$ 对$\theta$偏导数为

$
grad = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}
$

更新$\theta$

由梯度下降法，迭代计算$\theta$的值，其中$\alpha$为学习率

$
\theta_j :=\theta_j - \alpha*grad
$

三、单一特征的线性回归

1、数据可视化

fprintf('Plotting Data ...\n')

data = load('ex1data1.txt');

X = data(:, 1);

y = data(:, 2);

m = length(y); % number of training examples

% Plot Data

% Note: You have to complete the code in plotData.m

plotData(X, y);

fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');

pause;

2、误差函数及测试

2.1、误差函数

根据公式，编写J函数

function J = computeCost(X, y, theta)

m = length(y); % number of training examples

% J=1/(2*m)*sum((X*theta-y).^2); 

J=1/(2*m)*(X*theta-y)'*(X*theta-y);

end

2.2、测试误差函数

X = [ones(m, 1), data(:,1)]; % Add a column of ones to x (x_0 = 1)

theta = zeros(2, 1); % initialize fitting parameters

% Some gradient descent settings

iterations = 1500;

alpha = 0.01;

fprintf('\nTesting the cost function ...\n')

% compute and display initial cost

J = computeCost(X, y, theta);

fprintf('With theta = [0 ; 0]\nCost computed = %f\n', J);

fprintf('Expected cost value (approx) 32.07\n');

% further testing of the cost function

J = computeCost(X, y, [-1 ; 2]);

fprintf('\nWith theta = [-1 ; 2]\nCost computed = %f\n', J);

fprintf('Expected cost value (approx) 54.24\n');

fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');

pause;

3、梯度下降

3.1、梯度下降算法

根据梯度下降公式，实现算法

function [theta, J_history] = gradientDescent(X, y, theta, alpha, num_iters)

m = length(y); % number of training examples

J_history = zeros(num_iters, 1);  % one column

for iter = 1:num_iters

    grad = 1/m * X'*(X*theta-y);

    theta = theta - alpha * grad;

    J_history(iter) = computeCost(X, y, theta);

end

endfprintf('\nRunning Gradient Descent ...\n')

% run gradient descent

theta = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iterations);

% print theta to screen

fprintf('Theta found by gradient descent:\n');

fprintf('%f\n', theta);

fprintf('Expected theta values (approx)\n');

fprintf(' -3.6303\n  1.1664\n\n');

3.2、运行梯度下降

传入训练集，计算出theta矩阵

fprintf('\nRunning Gradient Descent ...\n')

% run gradient descent

theta = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iterations);

% print theta to screen

fprintf('Theta found by gradient descent:\n');

fprintf('%f\n', theta);

fprintf('Expected theta values (approx)\n');

fprintf(' -3.6303\n  1.1664\n\n');

4、预测

根据计算出来的theta矩阵，预测新的样本对应的值。

% Predict values for population sizes of 35,000 and 70,000

predict1 = [1, 3.5] *theta;

fprintf('For population = 35,000, we predict a profit of %f\n',...

    predict1*10000);

predict2 = [1, 7] * theta;

fprintf('For population = 70,000, we predict a profit of %f\n',...

    predict2*10000);

四、多特征的线性回归

多特征的线性回归，算法与单一特征基本一样，唯一不同的仅仅是X的特征数量、theta的参数数量。

另外，多特征的样本，各个特征的数据范围可能存在数量级的差别，最后得出的误差函数的等高线可能是一个不规则的图形。而梯度下降，是沿着误差函数的等高线的法向方向进行，对于一个不规则的图形，其法向方向是多变的，这样一来，梯度下降可能每次迭代的方向都会有差别，进而形成震荡，迭代速度也会变慢。

为使算法更快的找到最优解，使用“均值归一化”的进行标准化处理，将样本各个特征的数据，约束在相同的范围内。这样处理后，如果是二维特征，其误差函数的等高线就是一个近圆，梯度下降就直指圆心进行，能更快找到最优解。

1、标准化特征

1.1、加载数据，并标准化处理

%% Load Data

data = load('ex1data2.txt');

X = data(:, 1:2);

y = data(:, 3);

m = length(y);

% Print out some data points

fprintf('First 10 examples from the dataset: \n');

fprintf(' x = [%.0f %.0f], y = %.0f \n', [X(1:10,:) y(1:10,:)]');

fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');

pause;

% Scale features and set them to zero mean

fprintf('Normalizing Features ...\n');

% 将特征的值，都约束在[-1,1]区间内

[X mu sigma] = featureNormalize(X);

% Add intercept term to X??X_0 = 1

X = [ones(m, 1) X];

1.2、标准化函数（使用均值归一化算法）

计算方法：X_out = (X_in - mu)/sigma，其中，mu为样本均值，sigma为样本标准差

function [X_norm, mu, sigma] = featureNormalize(X)

X_norm = X;

mu = zeros(1, size(X, 2));   % get the count of column

sigma = zeros(1, size(X, 2));

[X_norm,mu,sigma] = zscore(X);

end

2、多维特征样本的误差函数、梯度下降算法

与一维样本的公式完全一样。不再详述。

五、正规方程解法

求解theta，除了使用梯度下降法外，还可以直接使用公式，进行计算。

上面讲到，如果是多维数据，在进行梯度下降时，为使计算速度加快，需要将多维特征数据进行标准化处理。而若是使用正规方程解法，则不需要，在原有的样本进行计算即可。

正规方程解法，因为需要求解逆矩阵，在样本数量很大的情况下，其运算速度会非常慢，所以，梯度下降法与正规方程解法，根据数据量的大小，进行选择。

经验数值是，当数据量大于1,000,000时，一般采用梯度下降法。

1、方程解法

function [theta] = normalEqn(X, y)

theta = zeros(size(X, 2), 1);

theta = pinv(X'*X)*X'*y;

end

2、预测

可以看到，正规方程解法，与梯度下降法，得出来的结果很接近。

data = csvread('ex1data2.txt');

X = data(:, 1:2);

y = data(:, 3);

m = length(y);

% Add intercept term to X

X = [ones(m, 1) X];

% Calculate the parameters from the normal equation

theta = normalEqn(X, y);

% Display normal equation's result

fprintf('Theta computed from the normal equations: \n');

fprintf(' %f \n', theta);

fprintf('\n');

% Estimate the price of a 1650 sq-ft, 3 br house

% ====================== YOUR CODE HERE ======================

% price = 0; % You should change this

price = 1650; % You should change this

price = [1,1650,3]*theta;