BZOJ5019[Snoi2017]遗失的答案——FWT+状压DP

题目描述

小皮球在计算出答案之后，买了一堆皮肤，他心里很开心，但是一不小心，就忘记自己买了哪些皮肤了。==|||万

幸的是，他还记得他把所有皮肤按照1～N来编号，他买来的那些皮肤的编号（他至少买了一款皮肤），最大公约数

是G，最小公倍数是L。现在，有Q组询问，每组询问输入一个数字X，请你告诉小皮球，有多少种合法的购买方案中

，购买了皮肤X？因为答案太大了，所以你只需要输出答案mod1000000007即可。

输入

第一行，三个数字N,G,L，如题意所示。

第二行，一个数字Q，表示询问个数。

第三行，Q个数字，表示每个询问所问的X。

N,G,L≤10^8,Q≤10^5,1≤X≤10^8

输出

对于每一组询问，在一行中单独输出一个整数，表示这个询问的答案。

样例输入

5 1 30
5
1 2 3 4 5

样例输出

1
2
2
0
2

 

将每个数质因数分解，那么$GCD$和$LCM$就分别是每个质因子的最小幂次的乘积和最大幂次的乘积。

一个不大于$10^8$的数最多有$8$个不同的质因子，可以考虑用状压来记录每个质因子的幂次的最大值和最小值是否达到了$GCD$和$LCM$的标准。

设$f[i][S1][S2]$表示前$i$个数的质因子的最小幂次是否达到的状态为$S1$，最大幂次是否达到的状态为$S2$时的方案数(为了方便，可以将$S1,S2$合并为一维)。

因为选取的数必须是$GCD$的倍数和$LCM$的约数，所以最多不会超过$600$个选取的数。

每次询问要指定必须选取某个数，我们记录前缀$DP$数组和后缀$DP$数组。

对于强制选取第$i$个数的情况，显然要将$i-1$的前缀$DP$数组和$i+1$的后缀$DP$数组合并，用或运算$FWT$合并即可。

那么对于合并后的$DP$数组，只要二进制状态是全集去掉第$i$个数的状态后的状态的父集就都合法，用与运算$FWT$正变换一下合并之后的$DP$数组即可。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1000000007;
const int inv=500000004;
bool vis[10010];
int prime[10010];
int cnt;
int G,L,Q;
int n,x;
int num;
int sum;
int mask;
int mx[10];
int pr[10];
int f[1<<16];
int g[1<<16];
int tmp[1<<16];
int p[1<<16];
int res[1<<16];
int pre[600][1<<16];
int suf[600][1<<16];
void find()
{
	for(int i=2;i<=10000;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=10000;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				break;
			}
		}
	}
}
void FWT_OR(int *a,int len,int opt)
{
	for(int k=2;k<=len;k<<=1)
	{
		int t=k>>1;
		for(int i=0;i<len;i+=k)
		{
			for(int j=i;j<i+t;j++)
			{
				if(opt==1)
				{
					a[j+t]=(a[j+t]+a[j])%mod;
				}
				else
				{
					a[j+t]=(a[j+t]-a[j]+mod)%mod;
				}
			}
		}
	}
}
void FWT_AND(int *a,int len,int opt)
{
	for(int k=2;k<=len;k<<=1)
	{
		int t=k>>1;
		for(int i=0;i<len;i+=k)
		{
			for(int j=i;j<i+t;j++)
			{
				if(opt==1)
				{
					a[j]=(a[j]+a[j+t])%mod;
				}
				else
				{
					a[j]=(a[j]-a[j+t]+mod)%mod;
				}
			}
		}
	}
}
void take(int x)
{
	for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]*prime[i]<=x;i++)
	{
		if(x%prime[i]==0)
		{
			pr[++num]=prime[i];
			while(x%prime[i]==0)
			{
				x/=prime[i];
				mx[num]++;
			}
		}
	}
	if(x>1)
	{
		pr[++num]=x,mx[num]=1;
	}
}
int quick(int x,int y)
{
	int res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)
		{
			res=1ll*res*x%mod;
		}
		y>>=1;
		x=1ll*x*x%mod;
	}
	return res;
}
void dfs(int dep,int x,int S1,int S2)
{
	if(dep>num)
	{
		res[S1|(S2<<num)]++;
		return ;
	}
	for(int i=0;i<=mx[dep];i++)
	{
		dfs(dep+1,x,S1|((i==0)<<(dep-1)),S2|((i==mx[dep])<<(dep-1)));
		if(1ll*x*pr[dep]>n)
		{
			return ;
		}
		x*=pr[dep];
	}
}
void add(int &x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>mod)
	{
		x-=mod;
	}
}
int get(int x)
{
	int S=0;
	for(int i=1;i<=num;i++)
	{
		int ans=0;
		while(x%pr[i]==0)
		{
			x/=pr[i],ans++;
		}
		if(!ans)
		{
			S|=1<<(i-1);
		}
		if(ans==mx[i])
		{
			S|=1<<(i-1+num);
		}
	}
	return S;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&G,&L,&Q);
	find();
	if(L%G)
	{
		while(Q--)
		{
			puts("0");
		}
		return 0;
	}
	L/=G,n/=G;
	take(L);
	dfs(1,1,0,0);
	mask=1<<(num+num);
	for(int i=0;i<mask;i++)
	{
		if(res[i])
		{
			g[++sum]=i;
			p[sum]=quick(2,res[i])-1;
		}
	}
	f[0]=1,pre[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=sum;i++)
	{
		for(int j=0;j<mask;j++)
		{
			add(tmp[j|g[i]],1ll*f[j]*p[i]%mod);
		}
		for(int j=0;j<mask;j++)
		{
			add(f[j],tmp[j]),tmp[j]=0;
		}
		for(int j=0;j<mask;j++)
		{
			pre[i][j]=f[j];
		}
	}
	memset(f,0,sizeof(f));
	f[0]=1,suf[sum+1][0]=1;
	for(int i=sum;i>=1;i--)
	{
		for(int j=0;j<mask;j++)
		{
			add(tmp[j|g[i]],1ll*f[j]*p[i]%mod);
		}
		for(int j=0;j<mask;j++)
		{
			add(f[j],tmp[j]),tmp[j]=0;
		}
		for(int j=0;j<mask;j++)
		{
			suf[i][j]=f[j];
		}
	}
	for(int i=0;i<=sum;i++)
	{
		FWT_OR(pre[i],mask,1);
		FWT_OR(suf[i+1],mask,1);
	}
	for(int i=0;i<sum;i++)
	{
		for(int j=0;j<mask;j++)
		{
			pre[i][j]=1ll*pre[i][j]*suf[i+2][j]%mod;
		}
	}
	for(int i=0;i<sum;i++)
	{
		FWT_OR(pre[i],mask,-1);
		FWT_AND(pre[i],mask,1);
	}
	while(Q--)
	{
		scanf("%d",&x);
		if(x%G){puts("0");continue;}
		x/=G;
		if(L%x){puts("0");continue;}
		if(x>n){puts("0");continue;}
		int S=get(x);
		int ans=0;
		int y=lower_bound(g+1,g+1+sum,S)-g-1;
		ans=pre[y][(mask-1)^S];
		ans=1ll*ans*inv%mod*(p[y+1]+1)%mod;
		printf("%d\n",ans);
	}
}