代价函数(有的地方也叫损失函数,Loss Function)在机器学习中的每一种算法中都很重要,因为训练模型的过程就是优化代价函数的过程,代价函数对每个参数的偏导数就是梯度下降中提到的梯度,防止过拟合时添加的正则化项也是加在代价函数后面的。在学习相关算法的过程中,对代价函数的理解也在不断的加深,在此做一个小结。

什么是代价函数?


假设有训练样本(x, y),模型为h,参数为θ。h(θ) = θTx(θT表示θ的转置)。

(1)概况来讲,任何能够衡量模型预测出来的值h(θ)与真实值y之间的差异的函数都可以叫做代价函数C(θ),如果有多个样本,则可以将所有代价函数的取值求均值,记做J(θ)。因此很容易就可以得出以下关于代价函数的性质:

  • 对于每种算法来说,代价函数不是唯一的;
  • 代价函数是参数θ的函数;
  • 总的代价函数J(θ)可以用来评价模型的好坏,代价函数越小说明模型和参数越符合训练样本(x, y);
  • J(θ)是一个标量;

(2)当我们确定了模型h,后面做的所有事情就是训练模型的参数θ。那么什么时候模型的训练才能结束呢?这时候也涉及到代价函数,由于代价函数是用来衡量模型好坏的,我们的目标当然是得到最好的模型(也就是最符合训练样本(x, y)的模型)。因此训练参数的过程就是不断改变θ,从而得到更小的J(θ)的过程。理想情况下,当我们取到代价函数J的最小值时,就得到了最优的参数θ,记为:

minθJ(θ)minθJ(θ)

例如,J(θ) = 0,表示我们的模型完美的拟合了观察的数据,没有任何误差。

(3)在优化参数θ的过程中,最常用的方法是梯度下降,这里的梯度就是代价函数J(θ)对θ1, θ2, ..., θn的偏导数。由于需要求偏导,我们可以得到另一个关于代价函数的性质:

  • 选择代价函数时,最好挑选对参数θ可微的函数(全微分存在,偏导数一定存在)

代价函数的常见形式


经过上面的描述,一个好的代价函数需要满足两个最基本的要求:能够评价模型的准确性,对参数θ可微。

(1)在线性回归中,最常用的是均方误差(Mean squared error),即

J(θ0,θ1)=12m∑i=1m(y^(i)−y(i))2=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2J(θ0,θ1)=12m∑i=1m(y^(i)−y(i))2=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2

m:训练样本的个数;

hθ(x):用参数θ和x预测出来的y值;

y:原训练样本中的y值,也就是标准答案

上角标(i):第i个样本

(2)在逻辑回归中,最常用的是代价函数是交叉熵(Cross Entropy),交叉熵是一个常见的代价函数,在神经网络中也会用到。下面是《神经网络与深度学习》一书对交叉熵的解释:

交叉熵是对「出乎意料」(译者注:原文使用suprise)的度量。神经元的目标是去计算函数x→y=y(x)。但是我们让它取而代之计算函数x→a=a(x)。假设我们把a当作y等于1的概率,1−a是y等于0的概率。那么,交叉熵衡量的是我们在知道y的真实值时的平均「出乎意料」程度。当输出是我们期望的值,我们的「出乎意料」程度比较低;当输出不是我们期望的,我们的「出乎意料」程度就比较高。

在1948年,克劳德·艾尔伍德·香农将热力学的熵,引入到信息论,因此它又被称为香农熵(Shannon Entropy),它是香农信息量(Shannon Information Content, SIC)的期望。香农信息量用来度量不确定性的大小:一个事件的香农信息量等于0,表示该事件的发生不会给我们提供任何新的信息,例如确定性的事件,发生的概率是1,发生了也不会引起任何惊讶;当不可能事件发生时,香农信息量为无穷大,这表示给我们提供了无穷多的新信息,并且使我们无限的惊讶。更多解释可以看这里

J(θ)=−1m[∑i=1m(y(i)loghθ(x(i))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]J(θ)=−1m[∑i=1m(y(i)log⁡hθ(x(i))+(1−y(i))log⁡(1−hθ(x(i)))]

符号说明同上

(3)学习过神经网络后,发现逻辑回归其实是神经网络的一种特例(没有隐藏层的神经网络)。因此神经网络中的代价函数与逻辑回归中的代价函数非常相似:

J(θ)=−1m[∑i=1m∑k=1K(y(i)kloghθ(x(i))+(1−y(i)k)log(1−(hθ(x(i)))k)]J(θ)=−1m[∑i=1m∑k=1K(yk(i)log⁡hθ(x(i))+(1−yk(i))log⁡(1−(hθ(x(i)))k)]

这里之所以多了一层求和项,是因为神经网络的输出一般都不是单一的值,K表示在多分类中的类型数。

例如在数字识别中,K=10,表示分了10类。此时对于某一个样本来说,输出的结果如下:

  1.1266e-004
1.7413e-003
2.5270e-003
1.8403e-005
9.3626e-003
3.9927e-003
5.5152e-003
4.0147e-004
6.4807e-003
9.9573e-001

一个10维的列向量,预测的结果表示输入的数字是0~9中的某一个的概率,概率最大的就被当做是预测结果。例如上面的预测结果是9。理想情况下的预测结果应该如下(9的概率是1,其他都是0):

   0
0
0
0
0
0
0
0
0
1

比较预测结果和理想情况下的结果,可以看到这两个向量的对应元素之间都存在差异,共有10组,这里的10就表示代价函数里的K,相当于把每一种类型的差异都累加起来了。

代价函数与参数


代价函数衡量的是模型预测值h(θ) 与标准答案y之间的差异,所以总的代价函数J是h(θ)和y的函数,即,J=f(h(θ), y)。又因为y都是训练样本中给定的,h(θ)有θ决定,所以,最终还是模型参数θ的改变导致了J的改变。对于不同的θ,对应不同的预测值h(θ),也就对应着不同的代价函数J的取值。变化过程为:

θ−>h(θ),y−>J(θ)θ−>h(θ),y−>J(θ)

为了更直观的看到参数对代价函数的影响,举个简单的例子:

有训练样本{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (4, 4)},即4对训练样本,每个样本中第1个是x的值,第2个是y的值。这几个点很明显都是y=x这条直线上的点。如下图:

 

常数项为0,所以可以取θ0=0,然后取不同的θ1,可以得到不同的拟合直线。当θ1=0时,拟合的直线是y=0,即蓝色线段,此时距离样本点最远,代价函数的值(误差)也最大;当θ1=1时,拟合的直线是y=x,即绿色线段,此时拟合的直线经过每一个样本点,代价函数的值为0。

通过下图可以查看随着θ1的变化,J(θ)的变化情况:

 

从图中可以很直观的看到θ对代价函数的影响,当θ1=1时,代价函数J(θ)取到最小值。因为线性回归模型的代价函数(均方误差)的性质非常好,因此也可以直接使用代数的方法,求J(θ)的一阶导数为0的点,就可以直接求出最优的θ值。

代价函数与梯度


梯度下降中的梯度指的是代价函数对各个参数的偏导数,偏导数的方向决定了在学习过程中参数下降的方向,学习率(通常用α表示)决定了每步变化的步长,有了导数和学习率就可以使用梯度下降算法(Gradient Descent Algorithm)更新参数了。下图中展示了只有两个参数的模型运用梯度下降算法的过程。

下图可以看做是代价函数J(θ)与参数θ做出的图,曲面上的一个点(θ0, θ1, J(θ)),有无数条切线,在这些切线中与x-y平面(底面,相当于θ0, θ1)夹角最大的那条切线就是该点梯度的方向,沿该方向移动,会产生最大的高度(相对于z轴,这里的z轴相当于代价函数J(θ))变化。

(1)线性回归模型的代价函数对参数的偏导数:

还是以两个参数为例,每个参数都有一个偏导数,且综合了所有样本的信息。

(2)逻辑回归模型的代价函数对参数的偏导数:

根据逻辑回归模型的代价函数以及sigmoid函数

hθ(x)=g(θTx)hθ(x)=g(θTx)
g(z)=11+e−zg(z)=11+e−z

得到对每个参数的偏导数为

∂∂θjJ(θ)=∑i=1m(hθ(xi)−yi)xij∂∂θjJ(θ)=∑i=1m(hθ(xi)−yi)xji

详细推导过程可以看这里-逻辑回归代价函数的导数

(3)神经网络中的代价函数对参数的偏导数:

这里的计算过程与前面都不一样,后面再补充。

References


https://www.quora.com/How-are-the-cost-functions-for-Neural-Networks-derived/answer/Daniel-Watson-22?srid=uIoGQ

https://www.zhihu.com/question/23468713

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B5_(%E4%BF%A1%E6%81%AF%E8%AE%BA)

https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s3.html

Coursera, Andrew Ng 公开课第一周,第三周,第五周

http://math.stackexchange.com/questions/477207/derivative-of-cost-function-for-logistic-regression

http://math.stackexchange.com/questions/947604/gradient-tangents-planes-and-steepest-direction

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