求解范围中 gcd(a,b)== prime 的有序对数
题目:
给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.
输入:
一个整数N。
输出:
如题。
Sample Output
4
Hint
对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)
1<=N<=10^7
思路:
对于本题,因为是使得为质数,所以必然要枚举小于等于的质数,那么对于每一个质数,
只需要求在区间中,满足有序对互质的对数。
也就是说,现在问题转化为:在区间中,存在多少个有序对使得互质,这个问题就简单啦,因为
是有序对,不妨设,那么我们如果枚举每一个,小于有多少个与互素,这正是欧拉函数。所以
我们可以递推法求欧拉函数,将得到的答案乘以2即可,但是这里乘以2后还有漏计算了的,那么有哪些呢?
是且为素数的情况,再加上就行了。
另外,在bzoj上好像空间限制的原因要用埃氏筛法筛质数,而在nyzoj上,数据点较大,最好用欧拉筛筛质数。
//nyzoj(乌市一中在线评测) www.nyzoj.com:5283 题目:blcup (10053)
代码如下:
//bzoj AC版:
#include<cstdio>
typedef long long ll;
const ll N=1e7+;
ll n,f[N],phi[N];
bool prime[N];
ll p[N],cnt;
void prework()
{
for (int i=;i<=n;i++) prime[i]=;
for (int i=;i<=n;i++)
{
if (prime[i])
{
p[++cnt]=i;
for (int j=i<<;j<=n;j+=i)
prime[j]=;
}
}
}
void Er()
{
for (int i=;i<=n;i++) phi[i]=i;
for (int i=;i<=n;i+=) phi[i]>>=;
for (int i=;i<=n;i+=)
{
if (phi[i]==i)
for (int j=i;j<=n;j+=i)
phi[j]=phi[j]-phi[j]/i;
}
f[]=;
for (int i=;i<=n;i++)
f[i]=f[i-]+(phi[i]<<);
}
ll solve()
{
ll ans=;
for (int i=;i<=cnt;i++)
{
ans+= + f[n/p[i]] ;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf ("%lld",&n);
prework();
Er();
printf("%lld",solve());
return ;
}
//nyzoj AC 版:
#include<cstdio>
typedef long long ll;
const ll N=1e7+;
ll n,f[N],phi[N];
int v[N];
ll p[N],cnt;
void prework()
{
for (int i=;i<=n;i++)
{
if (v[i]==)
{
v[i]=i; p[++cnt]=i;
}
for (int j=;j<=cnt;j++)
{
if (p[j]>v[i] || p[j]>n/i) break;
v[i*p[j]]=p[j];
}
}
}
void Er()//递推求欧拉函数
{
for (int i=;i<=(n>>);i++) phi[i]=i;
for (int i=;i<=(n>>);i+=) phi[i]>>=;
for (int i=;i<=(n>>);i+=)
{
if (phi[i]==i)
for (int j=i;j<=(n>>);j+=i)
phi[j]=phi[j]-phi[j]/i;
}
f[]=;
for (int i=;i<=(n>>);i++)
f[i]=f[i-]+(phi[i]<<);
}
ll solve()
{
ll ans=;
for (int i=;i<=cnt;i++)
{
ans+= + f[n/p[i]] ;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf ("%lld",&n);
prework();
Er();
printf("%lld",solve());
return ;
}
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