【HDOJ】4652 Dice

1. 题目描述
对于m面的骰子。有两种查询，查询0表示求最后n次摇骰子点数相同的期望；查询1表示最后n次摇骰子点数均不相同的期望。

2. 基本思路
由期望DP推导，求得最终表达式。
(1) 查询0
    不妨设$dp[k]$表示当前已经有k次相同而最终实现n次相同的期望。
    \begin{align}
        dp[0] &= 1 + dp[1]  \notag \\
        dp[1] &= 1 + \frac{1}{m}dp[2] + \frac{m-1}{m}dp[1]  \notag \\
        dp[2] &= 1 + \frac{1}{m}dp[3] + \frac{m-1}{m}dp[1]  \notag  \\
              &\cdots       \notag \\
        dp[n-1] &= 1 + \frac{1}{m}dp[n] + \frac{m-1}{m}dp[1] \notag \\
        dp[n] &= 0
    \end{align}
    两两相减可得。
    \begin{align}
        dp[0]-dp[1] &= \frac{1}{m}(dp[1]-dp[2]) \notag \\
        dp[1]-dp[2] &= \frac{1}{m}(dp[2]-dp[3]) \notag \\
        dp[2]-dp[3] &= \frac{1}{m}(dp[3]-dp[4]) \notag \\
                    &\cdots \notag \\
        dp[n-2]-dp[n-1] &= \frac{1}{m}(dp[n-1]-dp[n])
    \end{align}
    由$dp[0]=1+dp[1], dp[0]-dp[1]=1$代入可得。
    \begin{align}
        dp[0]-dp[1] &= 1 \notag \\
        dp[1]-dp[2] &= m \notag \\
        dp[2]-dp[3] &= m^2 \notag \\
                    &\cdots \notag \\
        dp[n-1]-dp[n] &= m^{n-1}
    \end{align}
    显然是一个等比数列，累加后可得$dp[0]-dp[n]=dp[0]$.
    \begin{align}   
        dp[0] = \frac{m^n-1}{m-1}
    \end{align}

（2）查询1
    不妨设$dp[k]$表示当前已经有k个不同而最终实现n个不同的期望。
    \begin{align}
        dp[0] &= 1 + dp[1] \notag \\
        dp[1] &= 1 + \frac{1}{m}dp[1] + \frac{m-1}{m}dp[2] \notag \\
        dp[2] &= 1 + \frac{1}{m}dp[1] + \frac{1}{m}dp[2] + \frac{m-2}{m}dp[3] \notag \\
                &\cdots \notag \\
        dp[n-1] &= 1 + \Sigma_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{m}dp[i]} + \frac{m-(n-1)}{m}dp[n] \notag \\
        dp[n] &= 0
    \end{align}
     两两相减可得。
    \begin{align}
        dp[0]-dp[1] &= \frac{m-1}{m}(dp[1]-dp[2]) \notag \\
        dp[1]-dp[2] &= \frac{m-2}{m}(dp[2]-dp[3]) \notag \\
                    &\cdots \notag \\
        dp[n-2]-dp[n-1] &= \frac{m-(n-1)}{m}(dp[n-1]-dp[n])
    \end{align}
    由$dp[0]=1+dp[1], dp[0]-dp[1]=1$代入累加后可得。
    \begin{align}
        dp[0] = \Sigma_{i=1}^{n} \frac{m^i}{\prod_{j=0}^{i-1}(m-j)}
    \end{align}

3. 代码

 /* 4652 */
 #include <iostream>
 #include <sstream>
 #include <string>
 #include <map>
 #include <queue>
 #include <set>
 #include <stack>
 #include <vector>
 #include <deque>
 #include <bitset>
 #include <algorithm>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <cstring>
 #include <climits>
 #include <cctype>
 #include <cassert>
 #include <functional>
 #include <iterator>
 #include <iomanip>
 using namespace std;
 //#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,1024000")

 #define sti                set<int>
 #define stpii            set<pair<int, int> >
 #define mpii            map<int,int>
 #define vi                vector<int>
 #define pii                pair<int,int>
 #define vpii            vector<pair<int,int> >
 #define rep(i, a, n)     for (int i=a;i<n;++i)
 #define per(i, a, n)     for (int i=n-1;i>=a;--i)
 #define clr                clear
 #define pb                 push_back
 #define mp                 make_pair
 #define fir                first
 #define sec                second
 #define all(x)             (x).begin(),(x).end()
 #define SZ(x)             ((int)(x).size())
 #define lson            l, mid, rt<<1
 #define rson            mid+1, r, rt<<1|1

 #define LL __int64

 int t;
 int op, n, m;

 LL Pow(LL base, int n) {
     LL ret = ;

     while (n) {
         if (n & )
             ret *= base;
         n >>= ;
         base *= base;
     }

     return ret;
 }

 void solve() {
     double ans = 0.0;

     if (op) {
         double tmp = 1.0;
         rep(i, , n) {
             tmp = tmp * m / (m-i);
             ans += tmp;
         }
     } else {
         LL fz = Pow(m, n) - ;
         ans = fz / (m-);
     }
     printf("%.9lf\n", ans);
 }

 int main() {
     ios::sync_with_stdio(false);
     #ifndef ONLINE_JUDGE
         freopen("data.in", "r", stdin);
         freopen("data.out", "w", stdout);
     #endif

     while (scanf("%d", &t)!=EOF) {
         while (t--) {
             scanf("%d%d%d", &op, &m, &n);
             solve();
         }
     }

     #ifndef ONLINE_JUDGE
         printf("time = %d.\n", (int)clock());
     #endif

     return ;
 }