C++与正态分布

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution）。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

从上图可以看出,当相差1个方差(σ), 满足要求的面积有68.27%.

当相差2个方差(σ)时,满足要求的面积有95.45.

当相差3个方差(σ)时,满足要求的面积有99.73%.

满足标准正态分的曲线,可以查表来求得正态分布的幅度.(见文后所附表格)

方差（Variance）,是各个数据分别与其和的平均数之差的平方的和的平均数，用字母D表示。在概率论和数理统计中，方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

标准差（StandardDeviation），是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。

测试代码:

 // NormalDistribution.cpp : Defines the entry point for the console application.
 //
 #include <stdio.h>
 #include <tchar.h>
 #include <iostream>
 #include <windows.h>
 #include <algorithm>
 #define _USE_MATH_DEFINES
 #include <math.h>
 using namespace std; 
 
 // 高斯分布随机数系列,默认期望值为0,方差为1
 double GaussRand(double dExpect = , double dVariance = );
 double GaussRand(double dExpect, double dVariance)
 {
     static double V1, V2, S;
     static int phase = ;
     double X;
 
     if ( phase ==  )
     {
         do
         {
             double U1 = (double)rand() / RAND_MAX;
             double U2 = (double)rand() / RAND_MAX;
 
             V1 =  * U1 - ;
             V2 =  * U2 - ;
             S = V1 * V1 + V2 * V2;
         } while(S >=  || S == );
 
         X = V1 * sqrt(- * log(S) / S);
     }
     else
     {
         X = V2 * sqrt(- * log(S) / S);
     }
 
     phase =  - phase;
 
     return (X*dVariance + dExpect);
 }
 
 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
 {
     const int DATA_CNT = ;
     double dArrData[DATA_CNT] = {}; 
 
     double dSum = ; 
 
     // 对所有数赋随机数,默认期望值为0,方差为1
     srand(GetTickCount());
     for (int nIdx = ; nIdx < DATA_CNT; nIdx++)
     {
         // 防止计算方差时数值过大
         dArrData[nIdx] = GaussRand();
         dSum += dArrData[nIdx];
     } 
 
     // 求平均数
     double dAverageData = dSum / DATA_CNT; 
 
     // 计算所有的数的方差(各个数据分别与其和的平均数之差的平方的和的平均数)
     double dVariance = 0.0;
     for (int nIdx = ; nIdx < DATA_CNT; nIdx++)
     {
         double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData;
         dVariance += pow(dDeviate, );
     }
     dVariance /= DATA_CNT; 
 
     // 计算标准差(方差的算术平方根,反映一组数据的离散程序)
     double dStandardDeviation = sqrt(dVariance); 
 
     // 计算0.5个正负标准差之间包含的数字个数
     int nDataCnt = ;
     for (int nIdx = ; nIdx < DATA_CNT; nIdx++)
     {
         double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData;
         if (abs(dDeviate) <= 0.5*dStandardDeviation)
         {
             nDataCnt++;
         }
     }
     cout<<nDataCnt<<endl; 
 
     // 计算1个正负标准差之间包含的数字个数
     nDataCnt = ;
     for (int nIdx = ; nIdx < DATA_CNT; nIdx++)
     {
         double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData;
         if (abs(dDeviate) <= dStandardDeviation)
         {
             nDataCnt++;
         }
     }
     cout<<nDataCnt<<endl; 
 
     // 计算2个正负标准差之间包含的数字个数
     nDataCnt = ;
     for (int nIdx = ; nIdx < DATA_CNT; nIdx++)
     {
         double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData;
         if (abs(dDeviate) <= *dStandardDeviation)
         {
             nDataCnt++;
         }
     }
     cout<<nDataCnt<<endl; 
 
     // 计算3个正负标准差之间包含的数字个数
     nDataCnt = ;
     for (int nIdx = ; nIdx < DATA_CNT; nIdx++)
     {
         double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData;
         if (abs(dDeviate) <= *dStandardDeviation)
         {
             nDataCnt++;
         }
     }
     cout<<nDataCnt<<endl; 
 
     return ;
 } 

(附)标准正态分布表

φ( - x ) = 1 –φ( x )

x	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0	0.500 0	0.504 0	0.508 0	0.512 0	0.516 0	0.519 9	0.523 9	0.527 9	0.531 9	0.535 9
0.1	0.539 8	0.543 8	0.547 8	0.551 7	0.555 7	0.559 6	0.563 6	0.567 5	0.571 4	0.575 3
0.2	0.579 3	0.583 2	0.587 1	0.591 0	0.594 8	0.598 7	0.602 6	0.606 4	0.610 3	0.614 1
0.3	0.617 9	0.621 7	0.625 5	0.629 3	0.633 1	0.636 8	0.640 4	0.644 3	0.648 0	0.651 7
0.4	0.655 4	0.659 1	0.662 8	0.666 4	0.670 0	0.673 6	0.677 2	0.680 8	0.684 4	0.687 9
0.5	0.691 5	0.695 0	0.698 5	0.701 9	0.705 4	0.708 8	0.712 3	0.715 7	0.719 0	0.722 4
0.6	0.725 7	0.729 1	0.732 4	0.735 7	0.738 9	0.742 2	0.745 4	0.748 6	0.751 7	0.754 9
0.7	0.758 0	0.761 1	0.764 2	0.767 3	0.770 3	0.773 4	0.776 4	0.779 4	0.782 3	0.785 2
0.8	0.788 1	0.791 0	0.793 9	0.796 7	0.799 5	0.802 3	0.805 1	0.807 8	0.810 6	0.813 3
0.9	0.815 9	0.818 6	0.821 2	0.823 8	0.826 4	0.828 9	0.835 5	0.834 0	0.836 5	0.838 9
1	0.841 3	0.843 8	0.846 1	0.848 5	0.850 8	0.853 1	0.855 4	0.857 7	0.859 9	0.862 1
1.1	0.864 3	0.866 5	0.868 6	0.870 8	0.872 9	0.874 9	0.877 0	0.879 0	0.881 0	0.883 0
1.2	0.884 9	0.886 9	0.888 8	0.890 7	0.892 5	0.894 4	0.896 2	0.898 0	0.899 7	0.901 5
1.3	0.903 2	0.904 9	0.906 6	0.908 2	0.909 9	0.911 5	0.913 1	0.914 7	0.916 2	0.917 7
1.4	0.919 2	0.920 7	0.922 2	0.923 6	0.925 1	0.926 5	0.927 9	0.929 2	0.930 6	0.931 9
1.5	0.933 2	0.934 5	0.935 7	0.937 0	0.938 2	0.939 4	0.940 6	0.941 8	0.943 0	0.944 1
1.6	0.945 2	0.946 3	0.947 4	0.948 4	0.949 5	0.950 5	0.951 5	0.952 5	0.953 5	0.953 5
1.7	0.955 4	0.956 4	0.957 3	0.958 2	0.959 1	0.959 9	0.960 8	0.961 6	0.962 5	0.963 3
1.8	0.964 1	0.964 8	0.965 6	0.966 4	0.967 2	0.967 8	0.968 6	0.969 3	0.970 0	0.970 6
1.9	0.971 3	0.971 9	0.972 6	0.973 2	0.973 8	0.974 4	0.975 0	0.975 6	0.976 2	0.976 7
2	0.977 2	0.977 8	0.978 3	0.978 8	0.979 3	0.979 8	0.980 3	0.980 8	0.981 2	0.981 7
2.1	0.982 1	0.982 6	0.983 0	0.983 4	0.983 8	0.984 2	0.984 6	0.985 0	0.985 4	0.985 7
2.2	0.986 1	0.986 4	0.986 8	0.987 1	0.987 4	0.987 8	0.988 1	0.988 4	0.988 7	0.989 0
2.3	0.989 3	0.989 6	0.989 8	0.990 1	0.990 4	0.990 6	0.990 9	0.991 1	0.991 3	0.991 6
2.4	0.991 8	0.992 0	0.992 2	0.992 5	0.992 7	0.992 9	0.993 1	0.993 2	0.993 4	0.993 6
2.5	0.993 8	0.994 0	0.994 1	0.994 3	0.994 5	0.994 6	0.994 8	0.994 9	0.995 1	0.995 2
2.6	0.995 3	0.995 5	0.995 6	0.995 7	0.995 9	0.996 0	0.996 1	0.996 2	0.996 3	0.996 4
2.7	0.996 5	0.996 6	0.996 7	0.996 8	0.996 9	0.997 0	0.997 1	0.997 2	0.997 3	0.997 4
2.8	0.997 4	0.997 5	0.997 6	0.997 7	0.997 7	0.997 8	0.997 9	0.997 9	0.998 0	0.998 1
2.9	0.998 1	0.998 2	0.998 2	0.998 3	0.998 4	0.998 4	0.998 5	0.998 5	0.998 6	0.998 6
x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
3	0.998 7	0.999 0	0.999 3	0.999 5	0.999 7	0.999 8	0.999 8	0.999 9	0.999 9	1.000 0

(附)正态分布概率表