POJ 1681 Painter's Problem （高斯消元 枚举自由变元求最小的步数）
题意：
一个n*n 的木板 ，每个格子 都 可以 染成 白色和黄色，（ 一旦我们对也个格子染色 ，他的上下左右 都将改变颜色）；
给定一个初始状态 ， 求将 所有的 格子 染成黄色 最少需要染几次？ 若 不能 染成 输出 inf。
分析：
和1222差不多，唯一的区别是这个题还要求 最短的步数，其实只需要枚举一下最后的x[][]是否为1，即是否需要按下，
由于只有无解或者解唯一，因为按的顺序是没有影响的，所以只要是有解一定唯一，而且最短的情况是每个格子只按一次，
因为按两次以后就变为原来的状态了。
这个是最严谨的这个题的AC代码，因为我做1753的时候用原来的方法错了，看了Kuangbin的博客，知道原来的方法不对，貌似只有一个解和无解的时候才会对。
但是这个是对的：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define LL __int64
const int maxn = +;
const int INF = <<;
using namespace std;
int equ, var, fn;
int a[maxn][maxn], x[maxn];
int free_x[maxn];
int gcd(int a, int b)
{
return b==?a:gcd(b, a%b);
}
int lcm(int a, int b)
{
return a*b/gcd(a, b);
}
int Gauss()
{
int x_mo;
x_mo = ;
int i, j, k, max_r, col;
int ta, tb, LCM, fx_num = ;
col = ; for(k = ; k<equ && col<var; k++, col++)
{
max_r = k;
for(i = k+; i < equ; i++)
if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
max_r = i; if(max_r != k)
for(j = k; j < var+; j++)
swap(a[k][j], a[max_r][j]); if(a[k][col]==)
{
free_x[fx_num++] = col; //求自由变元所在的列
k--;
continue;
}
for(i = k+; i < equ; i++)
{
if(a[i][col] != )
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
ta = LCM/abs(a[i][col]);
tb= LCM/abs(a[k][col]);
if(a[i][col]*a[k][col] < ) tb = -tb; for(j = col; j < var+; j++)
a[i][j] = ((a[i][j]*ta - a[k][j]*tb)%x_mo+x_mo)%x_mo;
}
}
}
for(i = k; i < equ; i++)
if(a[i][col] != )
return -; //以下为模2情况下的，枚举变元的方法。
int stat=<<(var-k);//自由变元有 var-k 个
int res=INF;
for(i=;i<stat;i++)//枚举所有变元
{
int cnt=;
int index=i;
for(j=;j<var-k;j++)
{
x[free_x[j]]=(index&);
if(x[free_x[j]]) cnt++;
index>>=;
}
for(j=k-;j>=;j--)
{
int tmp=a[j][var];
for(int l=j+;l<var;l++)
if(a[j][l]) tmp^=x[l];
x[j]=tmp;
if(x[j])cnt++;
}
if(cnt<res)res=cnt;
}
return res;
} int main()
{
int t, i, j, n, tmp;
char s[maxn];
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
memset(a, , sizeof(a));
memset(x, , sizeof(x));
scanf("%d", &n);
equ = n*n;
var = n*n;
for(i = ; i < n; i++)
{
getchar();
scanf("%s", s);
for(j = ; j < n; j++)
{
if(s[j]=='y') a[i*n+j][n*n] = ; //y时为0
else a[i*n+j][n*n] = ;
}
}
for(i = ; i < n; i++)
for(j = ; j < n; j++)
{
tmp = i*n+j;
a[tmp][tmp] = ;
if(j<=n-)
a[tmp+][tmp] = ;
if(j>=)
a[tmp-][tmp] = ;
if(tmp+n<n*n)
a[tmp+n][tmp] = ;
if(tmp-n>=)
a[tmp-n][tmp] = ;
}
fn = Gauss();
if(fn==-)
printf("inf\n");
else
printf("%d\n", fn);
}
return ;
}
这个AC代码是我按照模板改的，但是在多解的情况下不对：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define LL __int64
const int maxn = +;
using namespace std;
int equ, var, fn;
int a[maxn][maxn], x[maxn];
int gcd(int a, int b)
{
return b==?a:gcd(b, a%b);
}
int lcm(int a, int b)
{
return a*b/gcd(a, b);
}
int Gauss()
{
int x_mo;
x_mo = ;
int i, j, k, max_r, col;
int ta, tb, LCM, tmp;
col = ; for(k = ; k<equ && col<var; k++, col++)
{
max_r = k;
for(i = k+; i < equ; i++)
if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
max_r = i; if(max_r != k)
for(j = k; j < var+; j++)
swap(a[k][j], a[max_r][j]); if(a[k][col]==)
{
k--;
continue;
}
for(i = k+; i < equ; i++)
{
if(a[i][col] != )
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
ta = LCM/abs(a[i][col]);
tb= LCM/abs(a[k][col]);
if(a[i][col]*a[k][col] < ) tb = -tb; for(j = col; j < var+; j++)
a[i][j] = ((a[i][j]*ta - a[k][j]*tb)%x_mo+x_mo)%x_mo;
}
}
}
for(i = k; i < equ; i++)
if(a[i][col] != )
return -; for(i = var-; i >= ; i--)
{
tmp = a[i][var];
for(j = i+; j < var; j++)
if(a[i][j] != )
tmp = ((tmp-a[i][j]*x[j])%x_mo+x_mo)%x_mo;
if(a[i][i]==) //注意这a[i][i]可能为0， 我改为这样就对了。
x[i] = ;
else
{
while(tmp%a[i][i]!=) tmp += x_mo;
x[i] = (tmp/a[i][i])%x_mo;
}
}
return ;
} int main()
{
int t, i, j, n, ans, tmp;
char s[maxn];
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
memset(a, , sizeof(a));
memset(x, , sizeof(x));
scanf("%d", &n);
equ = n*n;
var = n*n;
for(i = ; i < n; i++)
{
getchar();
scanf("%s", s);
for(j = ; j < n; j++)
{
if(s[j]=='y') a[i*n+j][n*n] = ; //y时为0
else a[i*n+j][n*n] = ;
}
}
for(i = ; i < n; i++)
for(j = ; j < n; j++)
{
tmp = i*n+j;
a[tmp][tmp] = ;
if(j<=n-)
a[tmp+][tmp] = ;
if(j>=)
a[tmp-][tmp] = ;
if(tmp+n<n*n)
a[tmp+n][tmp] = ;
if(tmp-n>=)
a[tmp-n][tmp] = ;
}
fn = Gauss();
if(fn==-)
printf("inf\n");
else
{
ans = ;
for(i = ; i < n*n; i++)
if(x[i]==) //枚举解为1，就是需要将原来的翻转的。
ans ++;
printf("%d\n", ans);
}
}
return ;
}
这个AC代码的模板用的是别人的对二取模的模板，用的是 ^异或，不会出现除0的情况。在多解的情况下也不对。。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define LL __int64
const int maxn = +;
using namespace std;
int equ, var, fn;
int a[maxn][maxn], x[maxn];
int gcd(int a, int b)
{
return b==?a:gcd(b, a%b);
}
int lcm(int a, int b)
{
return a*b/gcd(a, b);
}
int Gauss()
{
int i,j,k;
int max_r;
int col;
int temp; int free_x_num;
int free_index; col=;
for(k=;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
max_r=k;
for(i=k+;i<equ;i++)
{
if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))max_r=i;
}
if(max_r!=k)
{
for(j=col;j<var+;j++)swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
if(a[k][col]==)
{
k--;
continue;
}
for(i=k+;i<equ;i++)
{
if(a[i][col]!=)
{
for(j=col;j<var+;j++)
a[i][j]^=a[k][j];
}
}
}
for(i=k;i<equ;i++)
{
if(a[i][col]!=)return -;
}
for(i=var-;i>=;i--)
{
x[i]=a[i][var];
for(j=i+;j<var;j++)
x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);
}
return ;
} int main()
{
int t, i, j, n, ans, tmp;
char s[maxn];
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
memset(a, , sizeof(a));
memset(x, , sizeof(x));
scanf("%d", &n);
equ = n*n;
var = n*n;
for(i = ; i < n; i++)
{
getchar();
scanf("%s", s);
for(j = ; j < n; j++)
{
if(s[j]=='y') a[i*n+j][n*n] = ;
else a[i*n+j][n*n] = ;
}
}
for(i = ; i < n; i++)
for(j = ; j < n; j++)
{
tmp = i*n+j;
a[tmp][tmp] = ;
if(j<=n-)
a[tmp+][tmp] = ;
if(j>=)
a[tmp-][tmp] = ;
if(tmp+n<n*n)
a[tmp+n][tmp] = ;
if(tmp-n>=)
a[tmp-n][tmp] = ;
}
fn = Gauss();
if(fn==-)
printf("inf\n");
else
{
ans = ;
for(i = ; i < n*n; i++)
if(x[i]==)
ans ++;
printf("%d\n", ans);
}
}
return ;
}
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