Python使用三种方法实现PCA算法[转]
主成分分析(PCA) vs 多元判别式分析(MDA)
PCA和MDA都是线性变换的方法,二者关系密切。在PCA中,我们寻找数据集中最大化方差的成分,在MDA中,我们对类间最大散布的方向更感兴趣。
一句话,通过PCA,我们将整个数据集(不带类别标签)映射到一个子空间中,在MDA中,我们致力于找到一个能够最好区分各类的最佳子集。粗略来讲,PCA是通过寻找方差最大的轴(在一类中,因为PCA把整个数据集当做一类),在MDA中,我们还需要最大化类间散布。
在通常的模式识别问题中,MDA往往在PCA后面。
PCA的主要算法如下:
- 组织数据形式,以便于模型使用;
- 计算样本每个特征的平均值;
- 每个样本数据减去该特征的平均值(归一化处理);
- 求协方差矩阵;
- 找到协方差矩阵的特征值和特征向量;
- 对特征值和特征向量重新排列(特征值从大到小排列);
- 对特征值求取累计贡献率;
- 对累计贡献率按照某个特定比例,选取特征向量集的字迹合;
- 对原始数据(第三步后)。
其中协方差矩阵的分解可以通过按对称矩阵的特征向量来,也可以通过分解矩阵的SVD来实现,而在Scikit-learn中,也是采用SVD来实现PCA算法的。
本文将用三种方法来实现PCA算法,一种是原始算法,即上面所描述的算法过程,具体的计算方法和过程,可以参考:A tutorial on Principal Components Analysis, Lindsay I Smith. 一种是带SVD的原始算法,在Python的Numpy模块中已经实现了SVD算法,并且将特征值从大从小排列,省去了对特征值和特征向量重新排列这一步。最后一种方法是用Python的Scikit-learn模块实现的PCA类直接进行计算,来验证前面两种方法的正确性。
用以上三种方法来实现PCA的完整的Python如下:
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import numpy as np from sklearn.decomposition import PCA import sys #returns choosing how many main factors def index_lst(lst, component = 0 , rate = 0 ): #component: numbers of main factors #rate: rate of sum(main factors)/sum(all factors) #rate range suggest: (0.8,1) #if you choose rate parameter, return index = 0 or less than len(lst) if component and rate: print ( 'Component and rate must choose only one!' ) sys.exit( 0 ) if not component and not rate: print ( 'Invalid parameter for numbers of components!' ) sys.exit( 0 ) elif component: print ( 'Choosing by component, components are %s......' % component) return component else : print ( 'Choosing by rate, rate is %s ......' % rate) for i in range ( 1 , len (lst)): if sum (lst[:i]) / sum (lst) > = rate: return i return 0 def main(): # test data mat = [[ - 1 , - 1 , 0 , 2 , 1 ],[ 2 , 0 , 0 , - 1 , - 1 ],[ 2 , 0 , 1 , 1 , 0 ]] # simple transform of test data Mat = np.array(mat, dtype = 'float64' ) print ( 'Before PCA transforMation, data is:\n' , Mat) print ( '\nMethod 1: PCA by original algorithm:' ) p,n = np.shape(Mat) # shape of Mat t = np.mean(Mat, 0 ) # mean of each column # substract the mean of each column for i in range (p): for j in range (n): Mat[i,j] = float (Mat[i,j] - t[j]) # covariance Matrix cov_Mat = np.dot(Mat.T, Mat) / (p - 1 ) # PCA by original algorithm # eigvalues and eigenvectors of covariance Matrix with eigvalues descending U,V = np.linalg.eigh(cov_Mat) # Rearrange the eigenvectors and eigenvalues U = U[:: - 1 ] for i in range (n): V[i,:] = V[i,:][:: - 1 ] # choose eigenvalue by component or rate, not both of them euqal to 0 Index = index_lst(U, component = 2 ) # choose how many main factors if Index: v = V[:,:Index] # subset of Unitary matrix else : # improper rate choice may return Index=0 print ( 'Invalid rate choice.\nPlease adjust the rate.' ) print ( 'Rate distribute follows:' ) print ([ sum (U[:i]) / sum (U) for i in range ( 1 , len (U) + 1 )]) sys.exit( 0 ) # data transformation T1 = np.dot(Mat, v) # print the transformed data print ( 'We choose %d main factors.' % Index) print ( 'After PCA transformation, data becomes:\n' ,T1) # PCA by original algorithm using SVD print ( '\nMethod 2: PCA by original algorithm using SVD:' ) # u: Unitary matrix, eigenvectors in columns # d: list of the singular values, sorted in descending order u,d,v = np.linalg.svd(cov_Mat) Index = index_lst(d, rate = 0.95 ) # choose how many main factors T2 = np.dot(Mat, u[:,:Index]) # transformed data print ( 'We choose %d main factors.' % Index) print ( 'After PCA transformation, data becomes:\n' ,T2) # PCA by Scikit-learn pca = PCA(n_components = 2 ) # n_components can be integer or float in (0,1) pca.fit(mat) # fit the model print ( '\nMethod 3: PCA by Scikit-learn:' ) print ( 'After PCA transformation, data becomes:' ) print (pca.fit_transform(mat)) # transformed data main() |
运行以上代码,输出结果为:
这说明用以上三种方法来实现PCA都是可行的。这样我们就能理解PCA的具体实现过程啦~~有兴趣的读者可以用其它语言实现一下哈。
原文链接:https://www.cnblogs.com/jclian91/p/8024101.html
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