KM算法【带权二分图完美匹配】

先orz litble——KM算法

为什么要用KM算法##

因为有的题丧心病狂卡费用流

KM算法相比于费用流来说，具有更高的效率。

算法流程##

我们给每一个点设一个期望值【可行顶标】

对于左边的点来说，就是期望能匹配到多大权值的右边的点

对于右边的点来说，就是期望能在左边的点的期望之上还能产生多少贡献

两个点能匹配，当且仅当它们的期望值之和为这条边的权值

一开始初始化所有左点的期望是其出边的最大值，因为最理想情况下当然是每个点都匹配自己能匹配最大的那个

右点期望为0

然后我们逐个匹配，当一个点匹配失败时，所有左点的期望就过高了

我们从右点未匹配的点中找到离被匹配相差的期望最小的点，所有此次匹配涉及的左点减去这个期望值【使得能匹配的点多出了一个】，然后其匹配的右点要加上这个期望值【因为还要保证已匹配的点仍然能被匹配】

然后继续尝试匹配

直至所有点匹配完

板子：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");
using namespace std;
const int maxn = 405,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline int read(){
	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
	return out * flag;
}
int w[maxn][maxn],expa[maxn],expb[maxn],visa[maxn],visb[maxn],cp[maxn],dl[maxn];
int n;
bool dfs(int u){
	visa[u] = true;
	REP(i,n) if (!visb[i]){
		int kl = expa[u] + expb[i] - w[u][i];
		if (kl == 0){
			visb[i] = true;
			if (!cp[i] || dfs(cp[i])){
				cp[i] = u; return true;
			}
		}
		else dl[i] = min(dl[i],kl);
	}
	return false;
}
int solve(){
	REP(i,n) expa[i] = expb[i] = cp[i] = 0;
	REP(i,n) REP(j,n) expa[i] = max(expa[i],w[i][j]);
	REP(i,n){
		REP(j,n) dl[j] = INF;
		while (true){
			REP(j,n) visa[j] = false,visb[j] = false;
			if (dfs(i)) break;
			int kl = INF;
			REP(j,n) if (!visb[j]) kl = min(kl,dl[j]);
			REP(j,n){
				if (visa[j]) expa[j] -= kl;
				if (visb[j]) expb[j] += kl;
				else dl[j] -= kl;
			}
		}
	}
	int re = 0;
	REP(i,n) re += w[cp[i]][i];
	return re;
}
int main(){
	n = read();
	REP(i,n) REP(j,n) w[i][j] = read();
	printf("%d\n",solve());
	return 0;
}