LOJ 3093: 洛谷 P5323: 「BJOI2019」光线
题目传送门:LOJ #3093。
题意简述:
有 \(n\) 面玻璃,第 \(i\) 面的透光率为 \(a\),反射率为 \(b\)。
问把这 \(n\) 面玻璃按顺序叠在一起后,\(n\) 层玻璃的透光率。
\(0 < a_i \le 1\),\(0 \le b_i < 1\)。
题解:
题目中告诉我们,\(n\) 层的玻璃也有透光率,换句话说,多层的玻璃可能可以看作一层。
从这个角度思考,考虑已经求出了前 \(i - 1\) 层玻璃的透光率,如何求出前 \(i\) 层玻璃的透光率。
可以发现已知透光率并不足以进一步求出新的透光率,我们似乎还需要知道反射率。
这时,如果你天真地认为反射率就是从第一面玻璃射入的光的反射率,你就错了。
需要特别注意的是,从第一面和最后一面射入的光的反射率是不相同的。
这是一个很大的坑点,如果注意到了这题就容易了;没注意到就会一直挠头。
总之,我们需要维护两个量:
前 \(i\) 面玻璃按顺序叠在一起后,光从第 \(1\) 面玻璃射入时的透光率。
前 \(i\) 面玻璃按顺序叠在一起后,光从第 \(i\) 面玻璃射入时的反射率。
分别记为 \(P_i\) 和 \(Q_i\),则不难推出:
\]
其中我们发现带有 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a^k\) 的形式,当 \(|a|<1\) 时,这个无穷级数等于 \(\displaystyle\frac{1}{1-a}\)。
所以得到最终的递推式:
\]
先算出 \(\displaystyle\frac{1}{1-Q_{i-1}b_i}\) 可以简化计算。
代码如下:
#include <cstdio>
typedef long long LL;
const int Mod = 1000000007;
const int Inv100 = 570000004;
inline LL Inv(LL b) {
LL a = 1;
for (int e = Mod - 2; e; e >>= 1, b = b * b % Mod)
if (e & 1) a = a * b % Mod;
return a;
}
int N;
LL P, Q;
int main() {
scanf("%d", &N);
P = 1, Q = 0;
while (N--) {
LL a, b;
scanf("%lld%lld", &a, &b);
a = a * Inv100 % Mod, b = b * Inv100 % Mod;
LL W = Inv((1 - Q * b % Mod + Mod) % Mod);
Q = (b + a * a % Mod * Q % Mod * W) % Mod;
P = P * a % Mod * W % Mod;
}
printf("%lld\n", P);
return 0;
}
题外话:你或许会想,既然反射率不同,透光率是否也不同呢?
然而经过计算,可以得到在每面玻璃两侧的透光率分别相同的情况下,最终两侧的透光率也相同。
这引出了一个有趣的光学原理:可以通过叠加不同的普通玻璃创造出两侧反射率不同的复合玻璃,但是透光率却始终相同。
同时也说明了毛玻璃并不是普通玻璃组合而成的。
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