Gym - 101480 CERC 15：部分题目题解（队内第N次训练）

-------------------题目难度较难，但挺有营养的。慢慢补。

A .ASCII Addition

pro：用一定的形式表示1到9，让你计算加法。

sol：模拟。

solved by fzl;

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
typedef long long ll;
string s[] =
{
    "xxxxxx...xx...xx...xx...xx...xxxxxx",
    "....x....x....x....x....x....x....x",
    "xxxxx....x....xxxxxxx....x....xxxxx",
    "xxxxx....x....xxxxxx....x....xxxxxx",
    "x...xx...xx...xxxxxx....x....x....x",
    "xxxxxx....x....xxxxx....x....xxxxxx",
    "xxxxxx....x....xxxxxx...xx...xxxxxx",
    "xxxxx....x....x....x....x....x....x",
    "xxxxxx...xx...xxxxxxx...xx...xxxxxx",
    "xxxxxx...xx...xxxxxx....x....xxxxxx",
    ".......x....x..xxxxx..x....x......."
};
char Map[][];
int judge(int x)
{
    string tmp;
    for(int i = ; i < ; i++)
        for(int j = x; j < x + ; j++)tmp += Map[i][j];
    for(int i = ; i <= ; i++)if(s[i] == tmp)return i;
}
int main()
{
    for(int i = ; i < ; i++)cin >> Map[i];
    int n = strlen(Map[]);
    ll cnt = , a;
    for(int i = ; i < n; i += )
    {
        int tmp = judge(i);
        if(tmp == ){a = cnt;cnt = ;continue;}
        cnt = cnt *  + tmp;
    }
    a = a + cnt;
    stringstream ss;string tmp;
    ss << a;
    ss >> tmp;
    for(int i = ; i < ; i++)for(int j = ; j < tmp.size(); j++)
    {
        for(int k =  * i; k <  * i + ; k++)cout<<s[tmp[j] - ''][k];
        if(j == tmp.size() - )cout<<endl;
        else cout<<".";
    }
    return ;
}

B .Book Borders

pro：给定文本，假设每行最多放L个字母时，统计第一行的信息。

sol：模拟+二分即可。

solve by pb。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
string s[];
int a,b,cnt,ans,n,sum[];
template<class T>
inline void read(T&a){
    char c=getchar();
    for(a=;(c<''||c>'')&&c!='-';c=getchar());
    bool f=;if(c=='-')f=,c=getchar();
    for(;c>=''&&c<='';c=getchar())a=a*+c-'';
    if(f)a=-a;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin.peek()!='\n')cin>>s[++n],sum[n]=sum[n-]+s[n].size();
    cin>>a>>b;
    for(int i=a;i<=b;i++){
        int las=,mid,l,r,now,hang=;
        ans=;
        while(las<n){
            l=las+,r=n;
            while(l<=r){
                mid=(l+r)>>;
                if(sum[mid]-sum[las]+mid-las-<=i)now=mid,l=mid+;
                else r=mid-;
            }
            ans+=s[las+].size();
            las=now;hang++;
        }
        printf("%d\n",ans+hang-);
    }
    return ;
}

D .Digit Division

pro：给定一个数字串，让你切割，使得切割后的每一部分都是M的倍数。

sol：保存前面切割的方案数，dp即可。 没mod 1e9+7，wa了一发。

solve by fcy。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
const int Mod=1e9+;;
ll ans,mp; char c[maxn];
int main()
{
    mp=;
    int N,M,x=;
    scanf("%d%d%s",&N,&M,c+);
    rep(i,,N){
        x=x*+c[i]-''; x%=M;
        if(x==) ans=mp,(mp+=mp)%=Mod;
        else ans=;
    }
    printf("%lld\n",ans%Mod);
    return ;
}

F.Frightful Formula

pro：给定N*N矩阵，给出第一行第一列的初始值 f[i][1]和f[1][i]，其他位置的满足f[i][j]=a*f[i][j-1]+b*f[i-1][j]+c;  求f[N][N]；

sol：如果没有c，此题直接组合数可以做，但是有c，可能要fft或者其他多项式的算法。 比较麻烦。

我们可以想办法把c去掉，不过数学渣fcy好像不会，只能参考别人的。 待定系数法很好的解决了这个问题。

参考：https://blog.csdn.net/liufengwei1/article/details/78271574

H .Hovering Hornet

pro：三维平面里，给定一个5*5*5的立方体，内部含有一个1*1*1的骰子，现在有一只蜜蜂，问它看到的点数和的期望。

sol：由于二者都是处于水平位置，所以看到上面的点的概率是一定的。 而周围4个点的概率取决于底面的面积，直接用半平面交即可。

updated by fcy。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
const double eps=1e-;
struct point{
    double x,y;
    point(){}
    point(double xx,double yy):x(xx),y(yy){}
};
struct line{
    point a;//起点
    point p;//起点到终点的向量
    line(){}
    line(point aa,point pp):a(aa),p(pp){}
    double angle;
};
double dot(point a,point b){ return a.x*b.x+a.y*b.y;}
double det(point a,point b){ return a.x*b.y-a.y*b.x;}
point operator *(point A,double p){ return point(A.x*p,A.y*p);}
point operator +(point A,point B){return point(A.x+B.x,A.y+B.y);}
point operator -(point A,point B){return point(A.x-B.x,A.y-B.y);}
double getangle(point a){ return atan2(a.y,a.x);}
double getangle(line a){ return getangle(a.p);}
point llintersect(line A,line B)
{
    point C=A.a-B.a;
    double t=det(C,B.p)/det(B.p,A.p);
    return A.a+A.p*t;
}
point s[maxn]; line t[maxn],q[maxn]; int head,tail;
bool cmp(line a,line b){
    double A=getangle(a),B=getangle(b);
    point t=(b.a+b.p)-a.a;
    if(fabs(A-B)<eps) return det(a.p,t)>0.0;
    return A<B;
}
bool onright(line P,line a,line b)
{
    point o=llintersect(a,b);
    point Q=o-P.a;
    return det(Q,P.p)>; //如果同一直线上不能相互看到，则>=0
}
point w[maxn]; int pcnt=;
double halfplaneintersect(int N,line p)
{
    s[N+]=s[];
    rep(i,,N) t[i].a=s[i],t[i].p=s[i+]-s[i];
    t[++N]=p;
    sort(t+,t+N+,cmp);
    int tot=;
    rep(i,,N-) {
        if(fabs(getangle(t[i])-getangle(t[i+]))>eps)
          t[++tot]=t[i];
    }
    t[++tot]=t[N]; head=tail=;
    rep(i,,tot){
        while(tail>head+&&onright(t[i],q[tail],q[tail-])) tail--;
        while(tail>head+&&onright(t[i],q[head+],q[head+])) head++;
        q[++tail]=t[i];
    }
    while(tail>head+&&onright(t[head+],q[tail],q[tail-])) tail--;
    //while(tail>head+1&&onright(t[tail],q[head+1],q[head+2])) head++;加上了会wa6，不知道为什么
    pcnt=; q[tail+]=q[head+];
    rep(i,head+,tail)  w[++pcnt]=llintersect(q[i],q[i+]);
    double res=;
    rep(i,,pcnt-) res+=det(w[i]-w[],w[i+]-w[]);
    return res/;
}
void solve()
{
    double ans=,area=5.0**-**;
    rep(i,,) scanf("%lf%lf",&s[i].x,&s[i].y);
    ans+=6.0*halfplaneintersect(,line(point(-0.5,0.5),point(,)))*/area;
    ans+=5.0***/area;
    ans+=4.0*halfplaneintersect(,line(point(-0.5,-0.5),point(,)))*/area;
    ans+=3.0*halfplaneintersect(,line(point(0.5,0.5),point(,-)))*/area;
    ans+=1.0*halfplaneintersect(,line(point(0.5,-0.5),point(-,)))*/area;
    printf("%.10lf\n",ans);
}
int main()
{
    solve();
    return ;
}

I .Ice Igloos

pro：在500*500的二维平面上，给定N个圆。Q次询问，每次给出一个线段，问多少个圆和直线有交点。 N,Q<1e5

sol：由于平面并不大，所以我们可以暴力一点的做法。 即去找可能有交点是位置，然后看那个位置上的圆是否满足。

solved by fcy 我的做法是，枚举x坐标，然后求出这个x到直线最近的点，然后往两边找，复杂度~500*Q*常数。（比标程暴力一丢丢）

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
double G[][];
struct point{
    double x,y;
    point(){}
    point(double xx,double yy):x(xx),y(yy){}
}A,B;
double det(point a,point b) {return a.x*b.y-a.y*b.x;}
double dot(point a,point b) {return a.x*b.x+a.y*b.y;}
double dist(point a,point b){
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
double ptoseg(point p)
{
    point Ap=point(p.x-A.x,p.y-A.y);
    point AB=point(B.x-A.x,B.y-A.y);
    point pB=point(B.x-p.x,B.y-p.y);
    if(dot(AB,Ap)<=) return dist(A,p);
    if(dot(AB,pB)<=) return dist(B,p);
    return fabs(det(Ap,AB)/dist(A,B));
}
int ans;
void get1(int x,int y)
{
    while(y>=){
        double ty=1.0*y;
        double dis=ptoseg(point(1.0*x,ty));
        if(dis>1.0) break;
        if(G[x][y]>dis) ans++;
        y--;
    }
}
void get2(int x,int y)
{
    while(y<=){
        double ty=1.0*y;
        double dis=ptoseg(point(1.0*x,ty));
        if(dis>1.0) break;
        if(G[x][y]>dis) ans++;
        y++;
    }
}
int main()
{
    int N,Q;
    scanf("%d",&N);
    rep(i,,N){
         int x,y; double r;
         scanf("%d%d%lf",&x,&y,&r);
         G[x][y]=r;
    }
    scanf("%d",&Q);
    while(Q--){
        scanf("%lf%lf%lf%lf",&A.x,&A.y,&B.x,&B.y);
        if(A.x>B.x||(A.x==B.x&&A.y>B.y)) swap(A.x,B.x),swap(A.y,B.y); ans=;
        if(A.x==B.x){
             for(int i=(int)A.y;i<=(int)B.y;i++)
                ans+=(G[(int)A.x][i]>);
        }
        else if(A.y==B.y){
            for(int i=(int)A.x;i<=(int)B.x;i++)
                ans+=(G[i][(int)A.y]>);
        }
        else {
            for(int i=max((int)A.x-,);i<=min((int)B.x+,);i+=){
               double y=1.0*A.y;
               if(i!=A.x) y=A.y+1.0*(B.y-A.y)/(B.x-A.x)*(i-A.x);
               int t=(int)y;
               get1(i,t);
               get2(i,t+);
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return ;
}

J .Juice Junctions

pro：给定N点M边的无向图，保证没个点的度数不超过3。 现在求所有点对的最大流。N<3e3, M<4.5e3;

sol：开始以为是N*M的复杂度，枚举起点，然后dfs，发现由于方向不能确定，所有并不能实现。

updated by fcy。

由于度数<=3；所以我们枚举点对，然后去验证可能性（0，1，2，3）。

0：不连通；    1：连通；   2： 双连通； 3：删去任意一边任然是双连通。

0，1用并查集可以做； 2用tarjan做。 3的话，需要用点东西才行，std的做法是，枚举删去的边，然后保存所有点所在的scc，所以两个点的所有情况下scc都同，即满足，这里可以用hash做。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll unsigned long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
const int seed1=;
const int seed2=;
int Laxt[maxn],Next[maxn],To[maxn],cnt=;
int q[maxn],top,dfn[maxn],low[maxn],scc[maxn],scc_cnt,times;
int fa[maxn],ans,del,hash1[maxn],hash2[maxn];
void add(int u,int v)
{
    Next[++cnt]=Laxt[u]; Laxt[u]=cnt; To[cnt]=v;
}
int find(int x)
{
    if(x==fa[x]) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
void dfs(int u,int f)
{
    q[++top]=u; dfn[u]=low[u]=++times;
    for(int i=Laxt[u];i;i=Next[i]){
        if(i==del*||i==del*+||To[i]==f) continue;
        if(!dfn[To[i]]) {
            dfs(To[i],u);
            low[u]=min(low[u],low[To[i]]);
        }
        else low[u]=min(low[u],dfn[To[i]]);
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        scc_cnt++;
        while(){
            int x=q[top--];
            scc[x]=scc_cnt;
            if(x==u) break;
        }
    }
}
int main()
{
    int N,M,u,v;
    scanf("%d%d",&N,&M);
    rep(i,,N) fa[i]=i;
    rep(i,,M){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        fa[find(u)]=find(v);
        add(u,v); add(v,u);
    }
    rep(i,,N)
     rep(j,i+,N)
      if(find(i)==find(j)) ans++;

    rep(i,,N)
      if(!dfn[i]) dfs(i,);

    rep(i,,N)
     rep(j,i+,N)
      if(scc[i]==scc[j]) ans++;

    rep(i,,M) {
        del=i; scc_cnt=; times=;
        rep(j,,N) dfn[j]=scc[j]=;
        rep(j,,N) if(!dfn[j]) dfs(j,);
        rep(j,,N){
            hash1[j]=hash1[j]*seed1+scc[j];
            hash2[j]=hash2[j]*seed2+scc[j];
        }
    }
    rep(i,,N)
     rep(j,i+,N) if(hash1[i]==hash1[j]&&hash2[i]==hash2[j]) ans++;
    printf("%d\n",ans);
    return ;
}

K .Kernel Knights

pro：给定二分图。每个点有个出度，现在让你找一种方案，选出其中一些点S，满足这些点之间没有边，而未选的点，至少有S中的点指向它，保证有解。

sol：首先，如果一个点没有入度，必选。 我们可以用topo排序得到这些点。 对于剩下的点，由于是二分图，我们选择其中一边即可。

solve by fzl&pb

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
typedef long long ll;
int n,a[],du[];
queue<int>que;
bool s[],c[];
void dfs(int x,int y){
    if(y){
        c[x]=;
        if(!s[a[x]]&&!c[a[x]])dfs(a[x],);
    }
    else{
        s[x]=;
        if(!s[a[x]]&&!c[a[x]])dfs(a[x],);
    }
}
int main(){
    //freopen("1.in", "r", stdin);
    //freopen("1.out", "w", stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=;i<=*n;i++){
        scanf("%d",a+i);
        du[a[i]]++;
    }
    for(int i=;i<=*n;i++)
        if(!du[i])que.push(i);
    while(!que.empty()){
        int x=que.front();que.pop();
        //cout<<x<<" "<<c[x]<<endl;
        if(c[x])continue;du[a[x]]--;
        s[x]=;
        if(!c[a[x]])c[a[x]]=,du[a[a[x]]]--;
        if(!s[a[a[x]]] && !c[a[a[x]]] && !du[a[a[x]]])que.push(a[a[x]]);
    }
    for(int i=;i<=*n;i++)
        if(!s[i]&&!c[i])dfs(i,);
    for(int i=;i<=*n;i++)
        if(s[i])printf("%d ",i);
    return ;
}