[物理学与PDEs]第1章习题8 磁场分布 $\ra$ 电流分布

设在真空中有一圆柱形磁场 $$\bex B(P)=\sedd{\ba{ll} \cfrac{2I}{Cr},&r\geq R,\\ \cfrac{2I}{CR^2}r,&r<R, \ea} \eex$$ 其中 $r$ 为所考察点 $P$ 到对称轴的距离, $I$ 及 $R$ 为常数, 而任一点磁场的方向与过该点绕对称轴旋转的方向相同. 试求激发这个磁场的电流分布.

解答: 设圆柱体上电流强度为 $\tilde I$, 方向与 ${\bf B}$ 成右手系, 则由 Amp\'ere 定理, $$\beex \ba{ll} r<R&\ra B\cdot 2\pi r=\mu_0\tilde I\pi r^2\ra B=\cfrac{\mu_0\tilde Ir}{2};\\ r\geq R&\ra B\cdot 2\pi r=\mu_0\tilde I \pi R^2\ra B=\cfrac{\mu_0\tilde I R^2}{2r}. \ea \eeex$$ 与题中的 $B$ 比较即得 $$\bex \tilde I=\cfrac{4I}{C\mu_0R^2}. \eex$$