函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调减, 证明: 对于任何 $\al\in (0,1)$, $$\bex \int_0^\al f(x)\rd x\geq \al \int_0^1 f(x)\rd x. \eex$$

证明: 设 $$\bex F(x)=\cfrac{\int_0^\al f(x)\rd x}{\al}, \eex$$ 则 $$\bex F'(x)=\cfrac{f(\al)\al-\int_0^\al f(x)\rd x}{\al^2} =\cfrac{\int_0^\al [f(\al)-f(x)]\rd x}{\al^2}\leq 0. \eex$$ 于是 $$\bex F(\al)\geq F(1)=\int_0^1 f(x)\rd x,\quad 0<\al<1. \eex$$

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 积分不等式 [中国科学技术大学2012年高等数学B考研试题])的更多相关文章

  1. [再寄小读者之数学篇](2014-06-23 积分不等式 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])

    设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一阶连续可导, $f(a)=0$. 证明: $$\bex \int_a^b f^2(x)\rd x\leq \cfrac{(b-a)^2}{2}\int_a^b ...

  2. [再寄小读者之数学篇](2014-06-22 发散级数 [中国科学技术大学2012年高等数学B考研试题])

    设 $a_n>0$, $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$, 级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 发散, 证明: $\dps{\vsm{n}\cfrac{a_n}{S_n}} ...

  3. [再寄小读者之数学篇](2014-06-22 最大值点处导数为零的应用 [中国科学技术大学2012 年高等数学B考研试题])

    设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=f(1)=0$, $f\sex{\cfrac{1}{2}}=1$. 证明:对于任意的实数 $\lm$, 一 ...

  4. [再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合)

    (2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合) 设 ${\bf A},{\bf B}$ 都是反对称矩阵, 且 ${\b ...

  5. [再寄小读者之数学篇](2014-06-22 求导数 [中国科学技术大学2014年高等数学B考研试题])

    设 $f(x)=x^2\ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$. 解答: 利用 Leibniz 公式易知 $f'(0)=f''(0)=0$, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-3} n ...

  6. [再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Logarithmical Sobolev inequality using BMO space)

    $$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{ ...

  7. [再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Besov space estimates)

    (1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &a ...

  8. [再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Bernstein's inequality)

    $$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq ...

  9. [再寄小读者之数学篇](2014-06-21 Beal-Kaot-Majda type logarithmic Sobolev inequality)

    For $f\in H^s(\bbR^3)$ with $s>\cfrac{3}{2}$, we have $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sex{1+\sen{ ...

随机推荐

  1. 面向对象_classmethod_staticmethod

    classmethod:类方法 主要用于改变静态属性 class Fruit_price: __discount= 1 def __init__(self,original_price): self. ...

  2. Loj #2494. 「AHOI / HNOI2018」寻宝游戏

    Loj #2494. 「AHOI / HNOI2018」寻宝游戏 题目描述 某大学每年都会有一次 Mystery Hunt 的活动,玩家需要根据设置的线索解谜,找到宝藏的位置,前一年获胜的队伍可以获得 ...

  3. day21(1)---python的内存管理

    垃圾回收机制: 不能被程序访问到的数据,就称之为垃圾. 引用计数:引用计数是用来记录值的内存地址被记录的次数的 每一次对值地址的引用都可以使得该值的引用计数+1 每一次对值地址的释放都可以使得该值的引 ...

  4. JS正则四个反斜杠的含义

    我们首先来看如下代码,在浏览器中输出的是什么? // 在浏览器中输出的 console.log('\\'); // 输出 \ console.log('\\\\'); // 输出 \\ 一:js正则直 ...

  5. jquery.filter() 实现元素前3个显示,其余的隐藏

    <head> <meta charset="UTF-8"> <title></title> <style>   li { ...

  6. python使用http、https代理

    在国内利用Python从Internet上爬取数据时,有些网站或API接口被限速或屏蔽,这时使用代理可以加速爬取过程,减少请求失败,Python程序使用代理的方法主要有以下几种: (1)如果是在代码中 ...

  7. Java 200+ 面试题补充② Netty 模块

    让我们每天都能看到自己的进步.老王带你打造最全的 Java 面试清单,认真把一件事做到最好. 本文是前文<Java 最常见的 200+ 面试题>的第二个补充模块,第一模块为:<Jav ...

  8. C# GDI+绘制一维条码打印模糊的解决办法

    最近遇到使用zxing生成的一维条码打印出来的条码图形很模糊根本识别不了.其实原因只有一句话: bitmap没有直接使用PrintDocument的Graphics画布进行绘制,而是中间处理了一下外部 ...

  9. DOTween坑点

    Sequence相关 如实现一个物体有序列的运动,A->B->C,需要实例化Sequence与实现方法在同一处调用. Sequence m_Sequence; void SequenceM ...

  10. Jmeter二次开发代码(1)

    package org.apache.jmeter.functions; import java.util.Collection;import java.util.LinkedList;import ...