ab矩阵(实对称矩阵)

今天在做题时巧遇了很多此类型的矩阵，出于更快解，对此进行学习。（感谢up主线帒杨）

1、认识ab矩阵

形如：主对角线元素都是a，其余元素都是b，我们称之为ab矩阵（默认涉及即为n×n阶）

2、求|A|

证明：

3、求高次幂

将矩阵A拆分成A=λE+B，矩阵B的高次幂 \(B^n\) 运用以下“二项式”公式易得：

一题：

4、秩

一题：【r(A)<n,|A|=0】

5、齐次方程组

一题：

6、特征值与特征向量

结合前面所学的求|A|更快计算|λE-A|，建议收藏本题并注意5:20处的小技巧。

tr(A)= $λ_{1}$ +...+ $λ_{n}$ = $a_{11}$ + $a_{22}$ +...+ $a_{nn}$

7、考研真题

（1）97真题

（2）16真题

定义：If P、Q可逆，PAQ=B ，则A和B等价。【快：r(A)=r(B)，则等价】

$λ_{1}$ 、 $λ_{2}$ 、 $λ_{3}$ 符号	二次曲面f（ $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ ）=2形状
3正（都相等）	椭球面（球面）
2正1负	单叶双曲面
2正1零（正的相等）	椭圆柱面（圆柱面）
1正2负	双叶双曲面
1正1负1零	双曲柱面

tr(A)= $λ_{1}$ +...+ $λ_{n}$ = $a_{11}$ + $a_{22}$ +...+ $a_{nn}$

（3）07真题

相似： \(P^{-1}AP=B\) , 合同： \(P^{T}AP=B\)（P可逆）

判定相似：若A与B有相同特征值且A与B都能相似对角化，则A与B相似

判定合同：（前提：A，B为实对称矩阵）A与B有相同的正、负惯性指数或A与B特征值的正负个数相同

（4）14真题

\(A^{T}=A\) 一定可以对角化

（5）03真题

若A与B相似，A与B有相同的特征值

A可逆，A， \(A^{-1}\) ，\(A^{*}\) 特征向量相同