3517: 翻硬币

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Description

有一个nn列的棋盘,每个格子上都有一个硬币,且n为偶数。每个硬币要么是正面朝上,要么是反面朝上。每次操作你可以选定一个格子(x,y),然后将第x行和第y列的所有硬币都翻面。求将所有硬币都变成同一个面最少需要的操作数。

Input

第一行包含一个正整数n
接下来n行,每行包含一个长度为n的01字符串,表示棋盘上硬币的状态。

Output

仅包含一行,为最少需要的操作数。

Sample Input

4
0101
1000
0010
0101

Sample Output

2

HINT

【样例说明】

对(2,3)和(3,1)进行操作,最后全变成1。

【数据规模】

对于100%的数据,n ≤ 1,000。

  上来一看,第一反应,异或数学题,想了半天如何异或也没想出来,问呵呵酵母菌,他说他觉得是图论WTF?!图论有几个O(n)算法能在这道题用上的。

  于是乎看了一眼题解:解异或方程组……

  一个点最多翻一遍,这话不用再说了吧……

  让我们先从都翻为0开始说起

  我们设x[i][j]为第i,j个点是否要翻,a[i][j]为该点初始状态,则x[1][j]^x[2][j]^……^x[n][j]^x[i][1]^x[i][2]^x[i][m]^x[i][j]=a[i][j]。

  我们把第i行和第j列所有的点按照上式列出方程组并合并, 由于n为偶数,则可以化为:

    x[i][j]=a[1][j]^a[2][j]^……^a[n][j]^a[i][1]^a[i][2]^……^a[i][m]^a[i][j]。

  那么我们只要对于每一行,每一列n^2预处理出他们的异或和再相加就好了。

  至于都为1吗?由于n是偶数,我们只要把每一个点是否翻的状态取反就是答案。

 #include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#define N 1005
using namespace std;
int n,a[N][N];
char b[N];
int sum[][N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%s",b+);
for(int j=;j<=n;j++)
{
a[i][j]=b[j]-'';
}
}
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=n;j++)
{
sum[][i]^=a[i][j];
sum[][j]^=a[i][j];
}
}
int ans=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=n;j++)
{
int t=sum[][i]^sum[][j];
t^=a[i][j];
ans+=t;
}
}
ans=min(ans,n*n-ans);
printf("%d\n",ans);
return ;
}

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