BZOJ 2440 完全平方数（莫比乌斯反演+二分查找）

题目链接：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=23362

题意：定义含有平方数因子的数为完全平方数（平方数因子不包含1）。求第k个非完全平方数。

思路：我们先求出[1, n]的非完全平方数的个数，然后利用二分来查找正好等于k时的n（注意这样的n可能不止一个，求最左边的）。关键是，怎么求出前者，我们可以利用容斥原理，用n - [1, n]内完全平方数的个数，求[1, n]内完全平方数的个数，用容斥发现前面的系数就是莫比乌斯函数，直接用莫比乌斯反演即可，结果为sigma(mu[i]*(n/(i*i)))。

code：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 using namespace std;

 typedef long long LL;

 const LL INF = 2e10 + ;
 const int MAXN = ;

 bool check[MAXN];
 int primes[MAXN];
 int mu[MAXN];
 LL k;

 void moblus()
 {
     memset(check, false, sizeof(check));
     mu[] = ;
     int cnt = ;
     for (int i = ; i < MAXN; ++i) {
         if (!check[i]) {
             primes[cnt++] = i;
             mu[i] = -;
         }
         for (int j = ; j < cnt; ++j) {
             if (i * primes[j] > MAXN) break;
             check[i * primes[j]] = true;
             if (i % primes[j] == ) {
                 mu[i * primes[j]] = ;
                 break;
             } else {
                 mu[i * primes[j]] = -mu[i];
             }
         }
     }
 }

 LL cal(LL n)
 {
     LL ret = n;
     for (LL i = ; i * i <= n; ++i) {
         ret += mu[i] * (n / (i * i));
     }
     return ret;
 }

 int main()
 {
     moblus();
     int nCase;
     scanf("%d", &nCase);
     while (nCase--) {
         scanf("%lld", &k);
         LL lhs = 1L;
         LL rhs = INF;
         LL mid;
         while (lhs < rhs) {
             mid = (rhs + lhs) / ;
             LL tmp = cal(mid);
             if (tmp < k) lhs = mid + ;
             else rhs = mid;
         }
         printf("%lld\n", lhs);
     }
     return ;
 }