通用高效字符串匹配--Sunday算法
字符串匹配(查找)算法是一类重要的字符串算法(String Algorithm)。有两个字符串, 长度为m的haystack(查找串)和长度为n的needle(模式串), 它们构造自同一个有限的字母表(Alphabet)。如果在haystack中存在一个与needle相等的子串,返回子串的起始下标,否则返回-1。C/C++、PHP中的strstr函数实现的就是这一功能。LeetCode上也有类似的题目,比如#28、#187.
这个问题已经被研究了n多年,出现了很多高效的算法,比较著名的有,Knuth-Morris-Pratt 算法 (KMP)、Boyer-Moore搜索算法、Rabin-Karp算法、Sunday算法等。
Sunday算法由Daniel M.Sunday在1990年提出,它的思想跟BM算法很相似, 其效率在匹配随机的字符串时不仅比其它匹配算法更快,而且 Sunday 算法 的实现比 KMP、BM 的实现容易很多!
只不过Sunday算法是从前往后匹配,在匹配失败时关注的是主串中参加匹配的最末位字符的下一位字符。
如果该字符没有在模式串中出现则直接跳过,即移动位数 = 模式串长度 + 1;
否则,其移动位数 = 模式串长度 - 该字符最右出现的位置(以0开始) = 模式串中该字符最右出现的位置到尾部的距离 + 1。
先说暴力法:两个串左端对其,然后从needle的最左边字符往右逐一匹配,如果出现失配,则将needle往右移动一位,继续从needle左端开始匹配...如此,直到找到一串完整的匹配,或者haystack结束。时间复杂度是O(mn)
,看起来不算太糟。入下图所示:
图中红色标记的字母表示第一个发生失配的位置,绿色标记的是完整匹配的位置。
重复这个匹配、右移的过程,每次只将needle右移一个位置
直到找到这么个完整匹配的子串。
限制这个算法效率的因素在于,有很多重复的不必要的匹配尝试。因此想办法减少不必要的匹配,就能提高效率咯。很多高效的字符串匹配算法,它们的核心思想都是一样样的,想办法利用部分匹配的信息,减少不必要的尝试。
Sunday算法利用的是发生失配时查找串中的下一个位置的字母。还是用图来说明:
上图的查找中,在haystack[1]和needle[1]的位置发生失配,接下来要做的事情,就是把needle右移。在右移之前我们先把注意力haystack[3]=d这个位置上。如果needle右移一位,needle[2]=c跟haystack[3]对应,如果右移两位,needle[1]=b跟haystack[3]对应,如果移三位,needle[0]=a跟haystack[3]对应。然后无论以上情况中的哪一种,在haystack[3]这个位置上都会失配(当然在这个位置前面也可能失配),因为haystack[3]=d这个字母根本就不存在于needle中。因此更明智的做法应该是直接移四位,变成这样:
然后我们发现在needle[0]=a,haystack[4]=b位置又失配了,于是沿用上一步的思路,看看haystack[7]=b。这次我们发现字母b是在needle中存在的,那它就有可能形成一个完整的匹配,因为我们完全直接跳过,而应该跳到haystack[7]与needle[1]对应的位置,如下图:
这一次,我们差点就找到了一个完整匹配,可惜needle[0]的位置失配了。不要气馁,再往后,看haystack[9]=z的位置,它不存在于needle中,于是跳到z的下一个位置,然后...:
于是我们顺利地找到了一个匹配!
然后试着从上面的过程中总结出一个算法来。
输入: haystack, needle
Init: i=0, j=0
while i<=len(haystack)-len(needle):
j=0
while j<len(needle) and haystack[i+j] equals needle[j]:
j=j+1
if j equals len(needle):
return i
else
increase i...
这里有一个问题,发生失配时,i应该增加多少。如果haystack[i+j]位置的字母不存在于needle中,我们知道可以跳到i+j+1的位置。而如果chr=haystack[i+j]存在于needle,我们说可以跳到使chr对应needle中的同一个字母的位置。但问题是,needle中可能有不止一个的字母等于chr。这种情况下,应该跳到哪一个位置呢?为了不遗漏可能的匹配,应该是跳到使得needle中最右一个chr与haystack[i+j]对应,这样跳过的距离最小,且是安全的。
于是我们知道,在开始查找之前,应该做一项准备工作,收集Alphabet中的字母在needle中最右一次出现的位置。我们建立一个O(k)这么大的数组,k是Alphabet的大小,这个数组记录了每一个字母在needle中最右出现的位置。遍历needle,更新对应字母的位置,如果一个字母出现了两次,前一个位置就会被后一个覆盖,另外我们用-1表示根本不在needle中出现。
用occ表示这个位置数组,求occ的过程如下:
输入: needle
Init: occ is a integer array whose size equals len(needle)
fill occ with -1
i=0
while i<len(needle):
occ[needle[i]]=i
return occ
还有一点需要注意的是,Sunday算法并不限制对needle串的匹配顺序,可以从左往右扫描needle,可以从右往左,甚至任何自定义的顺序。
接下来尝试具体实现一下这个算法,以下是Java程序,这里假设Alphabet就是ASCII字符集。
算法的时间复杂度主要依赖两个因素,一是i每次能跳过的位置有多少;二是在内部循环尝试匹配时,多快能确定是失配了还是完整匹配了。在最好的情况下,每次失配,occ[haystack[i+j]]都是-1,于是每次i都跳过n+1个位置;并且当在内部循环尝试匹配,总能在第一个字符位置就确定失配了,这样得到时间O(m/n)。比如下图这种情况:
最坏情况下,每次i都只能移动一位,且总是几乎要到needle的末尾才发现失配了。时间复杂度是O(m*n)并不比Brut-force的解法好。比如像这样:
使用Alphabet解法:
class Solution { public int strStr(String haystack, String needle) {
int m=haystack.length(), n=needle.length();
int[] occ=getOCC(needle);
int jump=;
for(int i=;i<=m-n; i+=jump){
int j=;
while(j<n&&haystack.charAt(i+j)==needle.charAt(j))
j++;
if(j==n)
return i;
jump=i+n<m ? n-occ[haystack.charAt(i+n)] : ;
}
return -;
} public int[] getOCC(String p){
int[] occ=new int[];
for(int i=;i<occ.length;i++)
occ[i]=-;
for(int i=;i<p.length();i++)
occ[p.charAt(i)]=i;
return occ;
}
}
不用Alphabet的解法 by Golang:
package main import "fmt" func strStr(haystack string, needle string) int {
if haystack == needle {
return
}
nl:=len(needle)
if nl=={
return
}
hl:=len(haystack)
if hl=={
return -
}
nm:=map[byte]int{}
for i:=;i<nl;i++{
nm[needle[i]]=i
}
fmt.Printf("%+#v %v %v ",nm, haystack, needle)
for i :=; i <hl;{
j:=
tmp:=i
for ;j<nl && tmp<hl;j++{
if haystack[tmp] != needle[j] {
break
}
tmp++
}
fmt.Printf("i %v, j %v ", i,j)
if j == nl {
return i
}else if i+nl<hl {
hit,exists := nm[haystack[i+nl]]
fmt.Printf("alpha %v hit %v exst %v ",string(haystack[i+nl]),hit, exists)
if exists {
i+=nl-hit
}else{
i+=nl+
}
}else {
return -
}
}
return -
}
func main(){
fmt.Println(strStr("a","a"))
fmt.Println(strStr("abcdeabc","abcab"))
fmt.Println(strStr("abcdeabc","abcabe"))
fmt.Println(strStr("abcebc","abc"))
fmt.Println(strStr("nnabcd e aebc","abc"))
fmt.Println(strStr("mississippi","issi"))
fmt.Println(strStr("mississippi","issip"))
}
前面提到Sunday算法对needle的扫描顺序是没有限制的。为了提高在最坏情况下的算法效率,可以对needle中的字符按照其出现的概率从小到大的顺序扫描,这样能尽早地确定失配与否。
Sunday算法实际上是对Boyer-Moore算法的优化,并且它更简单易实现。其论文中提出了三种不同的算法策略,结果都优于Boyer-Moore算法。
Reference:
1] [D.M. Sunday: A Very Fast Substring Search Algorithm. Communications of the ACM, 33, 8, 132-142 (1990)
2] [Fachhochschule Flensburg
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