UOJ#468. 【ZJOI2019】Minimax搜索 动态DP

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前言

毒瘤题

题解

首先，将问题稍加转化，将“等于k”转化为“小于等于k”减去“小于k”。

然后，考虑在有一个变化量限制k时，所有的叶子会怎样变化。

我们称原本根的权值对应的节点到根的路径为“主链”，那么，只要主链的任何一个节点的权值发生变化，那么根节点权值就发生变化。

我们称一个主链上的节点的在主链上的儿子为“主儿子”。

对于主链上的一个节点，假设他深度为奇数，那么他的所有子树中，除了主儿子所在子树以外的所有叶子节点都会加上k。否则，假设他深度为偶数，那么这些叶子节点会减去k。

于是，接下来我们就可以得到一个 \(O(n)\) 的 DP 方法。即

对于深度为奇数的主链的子树， \(dp[x][0]\)、\(dp[x][1]\) 分别表示在子树x的所有叶子节点集合操作时，有 \(dp[x][1]\) 个集合可以使得 x 的权值大于 1 号点原先的权值，有 \(dp[x][0]\) 个不能。

对于深度为偶数的主链的子树， \(dp[x][1]\)、\(dp[x][0]\) 分别表示在子树x的所有叶子节点集合操作时，有 \(dp[x][1]\) 个集合可以使得 x 的权值小于 1 号点原先的权值，有 \(dp[x][1]\) 个不能。

请读者自行列出 DP 转移。

事实上，这种 DP 状态是可以简化的。由于对于一个 x，\(dp[x][0]+dp[x][1]\) 是固定的，所以我们只需要记一个。虽然这不影响得分。

至此，我们得到了一个单次 DP \(O(n)\)，总时间复杂度 \(O((R-L)\cdot n)\) 的做法。

我们发现，当k的值从小到大不断变大时，只会有 \(O(n)\) 个叶子的 DP 值发生变化，每次变化会影响它到根的路径。

简单分析即可发现这里可以用动态DP来维护。

于是我们就得到了一个 \(O(n\log ^ 2 n)\) 的做法。

注意维护的时候可以会遇到乘0和除0的情况，注意特判。

代码

#pragma GCC optimize("Ofast","inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof x)
#define For(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=(b);i>=(a);i--)
#define pb(x) push_back(x)
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define fi first
#define se second
#define next Next
#define outval(x) cerr<<#x" = "<<x<<endl
#define outtag(x) cerr<<"-----------------"#x"-----------------\n"
#define outarr(a,L,R) cerr<<#a"["<<L<<".."<<R<<"] = ";\
                    For(_x,L,R) cerr<<a[_x]<<" ";cerr<<endl;
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair <int,int> pii;
LL read(){
    LL x=0,f=0;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))
        f=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
const int N=200005,mod=998244353;
int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=(LL)ans*x%mod;
	return ans;
}
void Add(int &x,int y){
	if ((x+=y)>=mod)
		x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
	if ((x-=y)<0)
		x+=mod;
}
int Add(int x){
	return x>=mod?x-mod:x;
}
int Del(int x){
	return x<0?x+mod:x;
}
int n,qL,qR;
vector <int> e[N];
int depth[N],size[N],son[N],val[N];
int fa[N],leaf[N],clf[N],pw2[N],clf2[N];
int fun(int k,int a,int b){
	return k&1?max(a,b):min(a,b);
}
void dfs(int x,int pre,int d){
	depth[x]=d,size[x]=1,son[x]=0,fa[x]=pre;
	if (e[x].size()==1&&d>1)
		val[x]=x,leaf[x]=clf[x]=1;
	else
		val[x]=d&1?0:n;
	for (auto y : e[x])
		if (y!=pre){
			dfs(y,x,d+1);
			clf[x]+=clf[y];
			size[x]+=size[y];
			val[x]=fun(d,val[x],val[y]);
			if (!son[x]||size[y]>size[son[x]])
				son[x]=y;
		}
}
int next[N],fad[N];
void dfs2(int x,int d){
	fad[x]=d;
	for (auto y : e[x])
		if (y!=fa[x]&&y!=next[x])
			dfs2(y,d);
}
void GetNext(){
	int x=val[1];
	for (int y=fa[x];y;x=y,y=fa[x])
		next[y]=x,dfs2(y,depth[y]);
}
int top[N],I[N],aI[N],Time=0;
void GetTop(int x,int tp){
	top[x]=tp,I[x]=++Time,aI[Time]=x;
	if (son[x]&&son[x]!=next[x])
		GetTop(son[x],tp);
	for (auto y : e[x])
		if (!I[y])
			GetTop(y,y);
}
int ans[N];
int dp[N];
int delta;
void DP(int x){
	dp[x]=0;
	if (x==val[1]){
		dp[x]=1;
		return;
	}
	if (leaf[x]){
		if (fad[x]&1){
			dp[x]+=(x+delta>val[1])==(depth[x]&1);
			dp[x]+=(x>val[1])==(depth[x]&1);
		}
		else {
			dp[x]+=(x-delta>=val[1])==(depth[x]&1);
			dp[x]+=(x>=val[1])==(depth[x]&1);
		}
		return;
	}
	dp[x]=1;
	for (auto y : e[x])
		if (y!=fa[x]){
			DP(y);
			if (y!=next[x])
				dp[x]=(LL)dp[x]*dp[y]%mod;
		}
	dp[x]=Del(pw2[clf2[x]]-dp[x]);
}
struct int0{
	int v,c;
	int0(){}
	int0(int _v,int _c){
		v=_v,c=_c;
	}
	int f(){
		return c?0:v;
	}
	void operator *= (int x){
		if (!x)
			c++;
		else
			v=(LL)v*x%mod;
	}
	void operator /= (int x){
		if (!x)
			c--;
		else
			v=(LL)v*Pow(x,mod-2)%mod;
	}
}v2[N],now;
int0 Get(){
	int0 ans=int0(1,0);
	for (int x=val[1];x;x=fa[x])
		ans*=Del(pw2[clf2[x]]-dp[x]);
	return ans;
}
struct fuck{
	int a,b;
	fuck(){}
	fuck(int _a,int _b){
		a=_a,b=_b;
	}
	friend fuck operator * (fuck x,fuck y){
		return fuck((LL)x.a*y.a%mod,((LL)x.a*y.b+x.b)%mod);
	}
	int calc(int x){
		return ((LL)a*x+b)%mod;
	}
}v[N];
int mxd[N];
namespace Seg{
	fuck s[N<<2];
	void Build(int rt,int L,int R){
		if (L==R)
			return (void)(s[rt]=v[aI[L]]);
		int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
		Build(ls,L,mid);
		Build(rs,mid+1,R);
		s[rt]=s[ls]*s[rs];
	}
	void update(int rt,int L,int R,int x,fuck v){
		if (L==R)
			return (void)(s[rt]=v);
		int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
		if (x<=mid)
			update(ls,L,mid,x,v);
		else
			update(rs,mid+1,R,x,v);
		s[rt]=s[ls]*s[rs];
	}
	fuck query(int rt,int L,int R,int xL,int xR){
		if (R<xL||L>xR)
			return fuck(1,0);
		if (xL<=L&&R<=xR)
			return s[rt];
		int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
		return query(ls,L,mid,xL,xR)*query(rs,mid+1,R,xL,xR);
	}
}
void update(int x){
	while (1){
		Seg::update(1,1,n,I[x],v[x]);
		x=top[x];
		int f=fa[x];
		if (val[x]!=val[1])
			v2[f]/=dp[x];
		else
			now/=Del(pw2[clf2[x]]-dp[x]);
		dp[x]=Seg::query(1,1,n,I[x],I[mxd[x]]).calc(1);
		if (val[x]!=val[1])
			v2[f]*=dp[x],v[f].a=v2[f].f(),x=f;
		else {
			now*=Del(pw2[clf2[x]]-dp[x]);
			break;
		}
	}
}
vector <int> upds[N];
int main(){
	n=read(),qL=read(),qR=read();
	pw2[0]=1;
	For(i,1,n)
		pw2[i]=Add(pw2[i-1]<<1);
	For(i,1,n-1){
		int x=read(),y=read();
		e[x].pb(y),e[y].pb(x);
	}
	dfs(1,0,1);
	GetNext();
	GetTop(1,1);
	For(i,1,n)
		clf2[i]=clf[i];
	for (int x=val[1];x;x=fa[x])
		clf2[x]-=clf[next[x]];
	delta=1,DP(1),now=Get(),ans[1]=Del(pw2[clf[1]]-now.f());
	For(x,1,n){
		if (leaf[x])
			v[x]=fuck(0,dp[x]);
		else {
			v2[x]=int0(Del(-1),0);
			for (auto y : e[x])
				if (y!=fa[x]&&y!=next[x]&&y!=son[x])
					v2[x]*=dp[y];
			v[x]=fuck(v2[x].f(),pw2[clf2[x]]);
		}
	}
	For(x,1,n)
		if (top[x]==x)
			mxd[x]=x;
	For(x,1,n)
		if (depth[x]>depth[mxd[top[x]]])
			mxd[top[x]]=x;
	Seg::Build(1,1,n);
	For(i,1,n){
		if (!leaf[i]||i==val[1])
			continue;
		if (fad[i]&1){
			if (i<val[1])
				upds[val[1]-i+1].pb(i);
		}
		else {
			if (i>val[1])
				upds[i-val[1]+1].pb(i);
		}
	}
	For(i,2,n-1){
		delta=i;
		for (auto x : upds[i]){
			int tmp=0;
			if (fad[x]&1){
				tmp+=(x+delta>val[1])==(depth[x]&1);
				tmp+=(x>val[1])==(depth[x]&1);
			}
			else {
				tmp+=(x-delta>=val[1])==(depth[x]&1);
				tmp+=(x>=val[1])==(depth[x]&1);
			}
			v[x]=fuck(0,tmp);
			update(x);
		}
		ans[i]=Del(pw2[clf[1]]-now.f());
	}
	ans[n]=Del(pw2[clf[1]]-1);
	For(i,qL,qR)
		printf("%d ",Del(ans[i]-ans[i-1]));
	puts("");
	return 0;
}