HDU - 2604 矩阵快速幂 字符串递推 两种解法

记dp[i]为长度i且符合题意的方案数,dp[n]就是解

符合方案的是不含fmf和fff子串的字符串

考虑如何从前面几项递推出后面第i项

(★表示存在生成的非法方案)←其实没啥用处

i=1时

m③ f③

i=2时

mm② mf② fm★② ff★②

i=3时

mmm mmf mfm★ mff★ fmm ffm★

i=4时

mmmm① mmmf① mmfm★① mmff★① mfmm① mffm★① fmmm① fmmf① ffmm①

i=5时

mmmmm① mmmmf② mmmfm① mmmff③ mmfmm① mmffm① mfmmm① mfmmf② mffmm① fmmmm① fmmmf② fmmfm① fmmff③ ffmmm① ffmmf②

i=5时,考虑第i-1项,其中所有方案接m都可以转移①

考虑第i-2项,只可以接_f形式,由★可得出无论是mf还是ff都有非法方案存在的结论,无法转移

考虑第i-3项,可以接__f形式 mmf可以②,mff非法,f_f非法

考虑第i-4项,只剩下mmff形式③

所有生成的第五项的串全部转移完毕,得到dp(n)=dp(n-1)+dp(n-3)+dp(n-4)

/*H E A D*/
int MOD = 9973;
inline ll mod(ll a){return a%MOD;}
struct Matrix{
	ll mt[22][22],r,c;
	void init(int rr,int cc,bool flag=0){
		r=rr;c=cc;
		memset(mt,0,sizeof mt);
		if(flag) rep(i,1,r) mt[i][i]=1;
	}
	Matrix operator * (const Matrix &rhs)const{
		Matrix ans; ans.init(r,rhs.c);
		rep(i,1,r){
			rep(j,1,rhs.c){
				int t=max(r,rhs.c);
				rep(k,1,t){
					ans.mt[i][j]+=mod(mt[i][k]*rhs.mt[k][j]);
					ans.mt[i][j]=mod(ans.mt[i][j]);
				}
			}
		}
		return ans;
	}
};
Matrix fpw(Matrix A,int n){
	Matrix ans;ans.init(A.r,A.c,1);
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*A;
		n>>=1;
		A=A*A;
	}
	return ans;
}
int bas[5][5]={
	{0,0,0,0,0},
	{0,1,0,1,1},
	{0,1,0,0,0},
	{0,0,1,0,0},
	{0,0,0,1,0},
};
int bas2[5]={0,9,6,4,2};
int main(){
	int n,m;
	Matrix A;A.init(4,4);
	rep(i,1,4) rep(j,1,4) A.mt[i][j]=bas[i][j];
	Matrix b; b.init(4,1);
	rep(i,1,4) b.mt[i][1]=bas2[i];
	while(cin>>n>>m){
		MOD=m;
		if(n<=3){
			println(b.mt[5-n][1]%MOD);
			continue;
		}
		Matrix res=fpw(A,n-4); res=res*b;
		ll ans=mod(res.mt[1][1]+m);
		println(ans);
	}
	return 0;
}

解法二:

很显然不断拼接枚举简直累死人,干嘛不直接把三位的子串全部递推出来

注意fmf和fff递推时强制设0表示非法方案

保险起见还是设递推项为第五项开始

时间复杂度较高,不过依然能AC

/*H E A D*/
int MOD = 9973;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline ll mod(ll a){return a%MOD;}
struct Matrix{
	ll mt[22][22],r,c;
	void init(int rr,int cc,bool flag=0){
		r=rr;c=cc;
		memset(mt,0,sizeof mt);
		if(flag) rep(i,1,r) mt[i][i]=1;
	}
	Matrix operator * (const Matrix &rhs)const{
		Matrix ans; ans.init(r,rhs.c);
		rep(i,1,r){
			rep(j,1,rhs.c){
				int t=max(r,rhs.c);
				rep(k,1,t){
					ans.mt[i][j]+=mod(mt[i][k]*rhs.mt[k][j]);
					ans.mt[i][j]=mod(ans.mt[i][j]);
				}
			}
		}
		return ans;
	}
};
Matrix fpw(Matrix A,int n){
	Matrix ans;ans.init(A.r,A.c,1);
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*A;
		n>>=1;
		A=A*A;
	}
	return ans;
}
// 4 7 -> 9->O fff_(m|f) fmf_(m|f) fff fmf
//dp[1][i]:fff dp[1][i+1]=0dp[1][i]+0dp[2][i] 0
//dp[2][i]:mff dp[2][i+1]=dp[3][i]+dp[5][i] 2
//dp[3][i]:fmf dp[3][i+1]=0dp[4][i]+0dp[6][i] 0
//dp[4][i]:ffm dp[4][i+1]=dp[1][i]+dp[2][i] 1
//dp[5][i]:mmf dp[5][i+1]=dp[7][i]+dp[8][i] 4
//dp[6][i]:mfm dp[6][i+1]=dp[3][i]+dp[5][i] 2
//dp[7][i]:fmm dp[7][i+1]=dp[4][i]+dp[6][i] 2
//dp[8][i]:mmm dp[8][i+1]=dp[7][i]+dp[8][i] 4
int bas[9][9]={
	{0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,0,0,1,0,1,0,0,0},
	{0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,1,1,0,0,0,0,0,0},
	{0,0,0,0,0,0,0,1,1},
	{0,0,0,1,0,1,0,0,0},
	{0,0,0,0,1,0,1,0,0},
	{0,0,0,0,0,0,0,1,1},
};
int bas2[9]={0,0,2,0,1,4,2,2,4};
int main(){
	int n,m;
	Matrix A;A.init(8,8);
	rep(i,1,8) rep(j,1,8) A.mt[i][j]=bas[i][j];
	Matrix b; b.init(8,1);
	rep(i,1,8) b.mt[i][1]=bas2[i];
	while(cin>>n>>m){
		MOD=m;
		if(n<=4){
			switch(n){
				case 0 :println(0%MOD);break;
				case 1 :println(2%MOD);break;
				case 2 :println(4%MOD);break;
				case 3 :println(6%MOD);break;
				case 4 :println(9%MOD);break;
			}
			continue;
		}
		Matrix res=fpw(A,n-5); res=res*b;
		ll ans=0;
//		rep(i,1,8) cout<<res.mt[i][1]<<" ";cout<<endl;
		rep(i,1,8) ans=mod(ans+res.mt[i][1]+m);
		println(ans);
	}
	return 0;
}