感知机学习算法（PLA）
Perception Learning Algorithm, PLA
1.感知机
感知机是一种线性分类模型，属于判别模型。
感知机模型给出了由输入空间到输出空间的映射：
f(X) = sign(WTX + b)
简单来说，就是找到一个分类超平面 WTX + b =0，将数据集中的正例和反例完全分开。
2.感知机学习算法（PLA）
感知机学习算法是为了找到 W 和 b 以确定分类超平面。为了减少符号，令 W = [b, W1, W2, ..., Wn]， X = [1, X1, X2, ..., Xn]，则 f(X) = sign(WTX )。
感知机学习算法是由误分类驱动的：
- 对于实际为正例(y=1)的误分类点，则对 W 进行如下修正：
W = W + X
从而使得 WTX 变大，更接近大于 0, 即更接近正确分类； (W+X)TX = WTX + ||X||2
- 对于实际为正例(y=1)的误分类点，则对 W 进行如下修正：
W = W - X
从而使得 WTX 变小，更接近小于 0, 即更接近正确分类； (W-X)TX = WTX - ||X||2
综上，令 W 初值 W0=0，然后每次选取一个误分类点，更新 W = W + y X ，直到所有点都被正确分类。
PS：不同的初值或者选取不同的误分类点，解可以不同。
具体算法如下：
3. PLA算法的收敛性
首先，确定数据集是 线性可分 的，否则，PLA永远不收敛。
假设数据集线性可分，则一定存在一个分类超平面可以将正例负例完全区分。
设最优的参数为 Wf，则：
yi WfTXi ≥ minn(ynWfTXn) > 0
已知 WfTW 越大，则 W 与 Wf 越接近。（联想协方差）
WfTWT = WfT (WT-1+ yT-1 XT-1 )
= WfT WT-1 + yT-1WfTXT-1
≥ WfT WT-1 + minn(ynWfTXn) (1)
> WfT WT-1 + 0
然而，WfTW 越大，也有可能只是 W 的元素值放大，但是W 与 Wf 的角度却没有接近。
所以，我们要讨论 $\frac{W_{f}^{T}W_{T}}{\left \| W_{f} \right \|\left \| W_{T} \right \|}$ 是否越来越大，若是，则 W 越来越接近最优值 Wf 。（联想 SVM 中 函数间隔 和 集合间隔 的概念）
我们知道，PLA 是误分类点驱动，所以有：
yi WTXi ≤ 0
又有：
WT = WT-1 + yT-1 XT-1
则：
|| WT ||2 = || WT-1 ||2 + yT-12 || XT-1 ||2 + 2 yT-1 WT-1T XT-1
≤ || WT-1 ||2 + yT-12 || XT-1 ||2 = || WT-1 ||2 + || XT-1 ||2
≤ || WT-1 ||2 + minn|| Xn ||2 (2)
设 W0 = 0
令 ρ = minn(ynWfTXn) ，代入式 (1):
WfTWT ≥ WfT WT-1 + ρ ≥ WfT WT-2 + 2ρ ≥ ... ≥ WfT W0 + Tρ = T